环形陷阱中Bose-Einstein凝聚的涡旋研究

一直以来，Gross-Pitaevskii方程被广泛用以描述平均场理论框架下的Bose-Einstein 凝聚。在Bose-Einstein凝聚旋转模型的框架下，Gross-Pitaevskii能量泛函的极小解是一个复值波函数，而涡旋(vortices)即是该波函数带有非零拓扑度的零点（三维为零点线）。众所周知，涡旋的产生与分布和陷阱势的几何性态及旋转速度有着密切的联系。对于三维Bose-Einstein凝聚模型，我们研究磁陷阱是一个环形区域时的涡旋的分布结构，探讨拓扑结构的变化对涡旋的分布和结构产生的影响。该问题的实验和数值模拟结果已经存在，而我们更希望给出严格的数学证明，这需要对波函数及其能量做复杂而精细地分析，并利用几何测度论工具，有相当难度。由于Bose-Einstein凝聚重要的物理背景，该问题的研究非常重要的理论意义。

与Bose-Einstein凝聚相关的Gross-Pitaevskii方程（组），以及生物数学中许多描述多个物种竞争行为的模型（如lotka-Volterra竞争模型），都出现了一类带奇异扰动的椭圆或者抛物型方程。这些方程（组）的奇异极限的解的各个分量在空间上支集分离，由此产生自由边界问题。我们主要研究了下列几个问题：.（1）一类反应扩散系统在强竞争下的相位分离及自由边界问题;（2）一类竞争扩散对流系统在强竞争下的相位分离.