空间非齐性量子动力学方程及其在Bose-Einstein凝聚理论中的运用

本项目将研究量子理论中描述费米子、玻色子及其混合粒子随时间发展的碰撞动力学偏微分方程，特别关注玻色-爱因斯坦及其相关的凝聚现象，重点研究解的定性与定量性质以及数值模拟。本项目在空间非齐性的框架下着重研究不局限于二阶的非线性碰撞算子和广泛的奇异碰撞截面。本项目将考虑包括起源于弱湍流理论、量子物理学、辐射流体动力学及其相关模型中产生的动力学方程，主要目标是在全空间研究这些模型空间非齐性框架下的大初值柯西问题，以及有界区域所相应的初边值问题。在诸多动力学方程柯西问题的研究热点中，本项目将着重研究解的大时间状态行为、正则性/奇性的传播、正则化效应以及建立更广泛的的解的精细估计和局部估计。这些结果将运用于对玻色-爱因斯坦凝聚、朗道阻尼等现象以及相关理论的物理解释。进一步的，本项目将研究这些模型柯西问题的流体动力学极限，并结合数值模拟，探讨其在弱湍流理论、辐射流体动力学等相关课题中的运用。

等离子体物理和量子理论的广泛运用以及科学界对Bose-Einstein凝聚现象的浓厚兴趣，产生了很多非常的数学模型需要数学界的深入研究。本项目对量子理论中描述费米子、玻色子及其混合粒子相互碰撞的一些相关动力学偏微分方程进行了研究，研究内容及其重要结果包括（但不限于）..- Kac模型（带量子效应的1维Fokker-Planck模型）的平衡态的稳定性以及解的大时间渐近行为。..- 空间齐次的Landau方程（软势）的解的一些先验估计。 . （-2<gamma<0）：L2框架下整体弱解的存在性。 . （-3<=gamma<=-2）：解的加权估计，熵解的存在性。..- 带量子效应的空间齐次Landau方程的弱解的（关于时间的）局部存在性以及解的爆破。..- 辐射方程的M1模型的光滑解的存在性，以及M1模型的解与辐射方程的解的相容性， M1方程的解与P1模型的相容性。..- 基于动力学模型的格子Boltzmann方法及在求解时谐波动方程即Helmholtz方程中的运用。..- 带有非线性扩散的Chemotaxis-Stokes模型（用来描述生物学中的自组织或群体运动现象，与Bose-Einstein凝聚现象有相似之处）的整体解的存在性。..我们的研究建立一套研究非线性动力学模型的分析方法和数值模拟方法。这些方法可进一步用于探讨等离子体物理和量子理论中某些有意思的物理现象，比如Bose Einstein凝聚、Landau阻尼等，提供更加细致和精确的定性描述和定量分析。