等价活动标架理论及其在微分方程和计算机视觉与模式识别中的应用研究

This proposal hopes to look for the bonding point between the Fels and Olver's equivariant moving frame theory for Lie groups and the classical Lie group theory, and combined with computer algebra theory to develop more general and systematic theory and methods. The applications could be extended from finite-dimensional Lie groups and Lie algebra to infinite-dimensional Lie pseudo-groups, which can provides new method for motion tracking in computer vision. Duo to the dificulities and limitations of the classical theory, this proposal will study equivariant moving frame method to construct differential invariants,invariant differential operators, the complete systems of differential invariants,the universal relations between various differential invariants,i.e. syzygies, invariant variational problem,normal form and signature cuves. In objects recognition, the dependence of the equivariant map of submanifolds on the coordinates results in complete differentces in forms and then one could not determine whether or not they are equivalent accordingly. However, syzygy is one of their essential and intrinsic properties and possesses the same form such that this key property could be used in computer objects recognition. Furthermore, the signatures of equivariant submanifolds are the same, but even for 1-dimensional submanifold, such as a curve in Euclidean space, the computation of which is tedious and difficult. Another problem is that for most curves, we do not know their equations. Hence, this proposal will also propose an algorithm of symbolic-numeric computation to solve the computation of signatures combined with the advantages of the high efficiency of numerical computation and the accuracy of symbolic computation.

本项目寻求Fels和Olver关于李群的等价活动标架理论和传统李群理论新的结合点，并结合计算机代数理论给出比较一般和系统的等价活动标架理论和方法。新理论和方法的应用因此可从有限维李群李代数拓展到无穷维李伪群，而李伪群为计算机视觉中图像跟踪提供方法。此外，因经典理论的局限性和困难性，本项目借助符号计算研究等价活动标架的递推构造方法，该方法可构造微分不变量及其完备系统、微分不变算子、不变量间的全局关系syzygy,不变变分问题、规范形和签名曲线等。模式识别中，表明子流形等价的等价映射对子流形坐标的依赖性所导致的形式的完全不同而无法判断其等价性，而syzygy恰恰是等价子流形的根本和内在属性，形式完全相同，此属性是模式识别的关键。此外，等价子流形的签名曲线相等，但即便是对一维子流形，签名曲线的计算也比较繁难，况且多数曲线的表示并不知道。为此，引入符号数值计算方法，以解决签名曲线的计算和比较问题。

本项目属多学科交叉研究，涉及不变曲线流、微分算子和微分不变量、可积系统以及图像分割和特征提取等，研究内容包括如下四个方面。.第一，基于等价活动标架理论，研究了群作用下流形的微分不变量的最小生成集，给出了微分不变量(高阶和规范化)，Syzygies，无穷小生成子的高阶延拓和微分不变量关系的递推公式。Syzygy是描述微分不变量之间关系的微分恒等式，由微分不变量的基本生成集，我们获得了syzygies的一组完备集。基于所获高阶微分不变量，构造了群作用下的一般子流形的显式Monge-Taylor（Normal form）形式。.第二，基于等价活动标架方法，研究不变曲线流和可积系统之间的关系， 给出了辛曲线的微分不变量，建立辛Grassmannian空间的可积系统和不变曲线流，给出了Serret–Frenet公式和Maurer-Cartan微分不变量的构造方法。研究表明，基于Maurer-Cartan微分不变量，可由某些内在的曲线流获得双哈密顿可积的矩阵KdV方程。.第三，作为微分算子逆问题研究的典型代表，自伴Sturm-Liouville算子逆三组谱问题和Dirac算子的逆谱问题研究受到广泛关注。一方面，对定义在[0,1]区间上的自伴SL算子，研究了逆三组谱问题，利用三组谱的渐近性和交错性，建立了三组数列确定[0,1]区间上势函数的存在唯一性定理，给出了势函数的重构步骤。另一方面，对于不同类型的Dirac算子的逆谱问题，证明了：i)部分两组谱和部分内部谱数据可以唯一确定整个区间上的势函数；ii)当势函数在内部子区间已知时，势函数以及边界条件能够通过部分特征值和内部谱数据完全确定；iii) 利用Weyl函数或两组谱可以唯一确定势函数，推广了Hochstadt和Lieberman的半逆谱定理。.第四，应用研究主要围绕模式识别的图像分割和特征提取展开。基于偏微分方程理论及其数值化方法，提出了多分辨率水平集MR图像分割模型、改进CV模型的连续水平集分割模型以及融合全局和局部信息的水平集图像分割模型等，解决了信息量大、灰度不均匀、边界模糊图像的分割问题，实现了临床核磁共振图像的精确分割。依据紧支框架理论，给出了信号特征提取的自适应处理模型，将观察信号分解为一组特征波形的线性展开，不需要信号过多的先验知识，解决了噪声和信号特征波形频带重叠情况下微弱特征的分离和提取问题。