含缺失数据的函数型回归模型的统计分析

In many applied fields, such as economics, biomedicine, sociology, etc., because the information is missing or can not be obtained and other reasons, some data can’t be observed. Missing data usually contains some valuable information and can not be simply deleted, so the statistical analysis of missing data has been a hot topic in recent years. In addition, with the progress of data collection and storage technology, some random phenomena can be continuously observed, so as to obtain data with some function characteristics, such as weather data, brain electrical signal data and so on. This kind of data with the characteristic of the function is usually called functional data, and the study of the functional data has become a frontier hotspot in the last ten years. At present, the study of missing data under the background of multivariate vector data has accumulated a lot of results. However, there is little research on the missing problem in the context of functional data. Therefore, this project is devoted to discussing the statistical analysis of missing data in the context of functional data, which has important theoretical and practical significance. The main contents of this project include: (1) statistical analysis of functional nonparametric regression model with missing data; (2) statistical analysis of functional semiparametric regression model with missing data; (3) statistical analysis of generalized functional linear regression model with missing data.

在许多应用领域，如经济学、生物医学、社会学等，常因为信息遗漏或无法获取等原因导致数据出现缺失。缺失数据通常含有某些有价值的信息而不能简单的丢掉，因而对缺失数据的统计分析一直是近些年来统计学研究的热点问题。另外，随着数据收集及存储技术的进步，人们可以对某些随机现象进行连续的观测，从而获得具有某种函数特征的数据，如气象数据、脑电信号数据等。这种具有函数特征的数据通常被称为函数型数据。近十多年来对函数型数据的研究也成为一个前沿热点。目前在多元向量数据背景下对缺失数据的研究已经积累了大量的成果，然而在函数型数据背景下对缺失问题研究的甚少，因而本项目致力于在函数型数据背景下讨论缺失数据的统计分析，具有重要的理论和实际意义。本项目的主要研究内容包括：（1）含缺失数据的函数型非参数回归模型的统计分析；（2）含缺失数据的函数型半参数回归模型的统计分析；（3）含缺失数据的广义函数型线性回归模型的统计分析。

随着数据收集及存储技术的进步，人们可以对某些随机现象进行连续的观测，从而得到函数型数据。同时，由于信息遗漏或无法获取等原因常常导致数据出现缺失，因此本项目致力于研究缺失数据下的函数型回归建模，具体研究内容包括：（1）响应变量随机缺失下部分函数线性回归模型的估计问题；（2）广义部分函数型线性回归模型及缺失问题研究；（3）响应变量随机缺失的函数型线性空间自回归模型。通过以上研究，取得的研究成果有：（1）针对部分函数线性回归模型，在响应变量随机缺失的条件下，发展了样条估计方法，同时对响应变量均值给出了回归插补估计和逆概率加权估计，在一定的正则条件下得到了估计的收敛速度，发现无论是斜率函数和非参数部分估计，还是均值的估计，其收敛速度都比传统的部分线性模型要慢一些。（2）针对广义部分函数型线性回归模型及缺失问题，得到了模型的多项式样条估计，以及参数估计的渐近正态性和斜率函数多项式样条估计的全局收敛速度，发现该渐近结果与传统的广义部分线性模型类似。在响应变量随机缺失，提出了模型的逆概率加权估计，并在一定条件下得到了估计的渐近性质。（3）针对函数型线性空间自回归模型，在响应变量随机缺失及正态性假定下，提出了模型的EM估计，并用该模型研究了西班牙年平均晴天数与年平均温度曲线的关系，发现EM方法能较好的提高估计精度。. 本项目共发表论文2篇，其中SCI收录1篇，参加学术会议5人次。