高维函数型数据的检验、回归与分类

Owing to its ubiquitous presence, functional data analysis has become one of the prominent research areas in statistics. The era of big data brings a great number of new challenging problems, particularly the theory and methods for functional data with high-dimensional features become more important. However, this data type is rarely studied, which is also the objective of our proposal to fill the gap in analyzing high-dimensional functional data from methodological, theoretical and application aspects. Specifically, for high-dimensional functional data, we will study in depth the equality tests of mean and covariance structures, estimation/selection and testing in functional regression models, as well as classification. The proposed methods and theory will be applied to problems arising from brain imaging area. Further applications include those in genomics, biology and medicine, finance and economics.

由于函数型数据的广泛应用，其已成为统计学的研究热点之一。大数据时代对函数型数据分析提出了许多具有挑战性的全新研究课题，尤其是同时兼具高维度与时序性的函数型数据的分析方法和理论愈来愈显出其价值和重要性。而对此方面的研究在国内外至今鲜有涉及，这也是本课题的主旨所在。我们将尝试从方法、理论和实际应用等各方面来填补高维函数型数据分析方面的空白。具体而言，我们将对高维函数型数据从整体均值和协方差结构相等性的统计推断，到回归分析的估计与变量选择以及相关的假设检验，和对此类数据的监督分类法则等问题展开深入研究。应用方面，我们将致力于把本项⽬所提出的方法应用于大脑脑电图等生物医疗方面。由于函数型数据广泛存在于社会经济的各个领域，例如金融投资、基因技术及生物医药等，我们也将尝试把建构的方法和理论应用到其他诸多领域中。

随着社会经济尤其是互联网大数据行业的迅猛发展，⼈们所能获取的数据愈趋复杂，维度与特征越来越多，这使得高维函数型数据的分析方法和相关理论愈来愈凸显出其价值和重要性。但⾯对结构复杂的高维函数型数据时，传统的统计分析方法往往显得力不从心，且国内外对此方面的研究至今鲜有涉及。我们将从多⾓度对高维函数数据进行系统的研究，尝试从方法、理论和实际应用等各⽅⾯来填补空白。具体来讲，我们将对高维函数型数据从均值和协方差相等性的统计推断，到回归分析的估计与假设检验以及分类模型等问题开展深入研究。实际应用方面，我们将致力于把本项目所提出的方法应用于大脑脑电图等生物医疗方面。同时由于函数型数据广泛存在于社会经济的各个领域，例如金融投资、基因技术及生物医药等，我们所建构的方法和理论将对诸多行业领域的研究和发展起到促进作用。.本项目在研究期间寻找到了新的统计方法来妥善解决把高维点数据分析推广到高维函数型数据分析，建立了超高维函数型数据两样本均值检验方法，证明了相关统计量的大样本渐进分布，并开发出易于计算的程序；建立了高维函数型数据两样本协方差结构的检验方法，证明了相关统计量的大样本渐进分布等性质，并通过理论创新放松对数据独立同分布的条件限制，从而扩大其适用范围；基于高维函数型数据的回归分析，创建对回归模型中参数函数的检验方法，同时证明了相关统计量的大样本渐进分布特征；建立了超高维函数型数据的分类方法，证明了所提分类法和理论最优分类法的相合性; 除此之外还建立了流形上的函数型数据分析方法以及实时在线算法。上述研究成果为高维弱约束条件、高维函数型线性回归等复杂条件下的统计推断提供了有效的解决方法，方便了函数型数据的时空建模，广泛的应用至脑电数据（fMRI, EEG）、中国PM2.5数据、智能出行、智能制造等数据上，具有重要的科学意义和应用价值。