仿射微分几何中超曲面的若干问题研究

Affine differential geometry is one of the most important components in differential geometry, while affine hypersurface is the main subject for the study of affine differential geometry. Now, for the study of affine hypersurface, on both whole and local geometry there are many interesting results, but which also left some important questions. On the other hand, affine hypersurfaces with canonical geometry properties are payed more and more attention, but few methods are allowable and the study is difficult. . In summary, based on our experience of the subject we will study the following three parts: (1) Construction and classification of locally strongly convex isoparametric or homogeneous affine hypersurfaces; (2) Characterization of the Calabi-type composition of affine spheres and its application; (3) Classification of the affine hypersurfaces with canonical geometry properties, for example, the affine spheres have constant sectional curvature and vanishing Pick invariant, and the non-degenerate affine hypersurfaces have parallel cubic form or self-congruent center map.

仿射微分几何是微分几何学的重要分支之一, 而仿射超曲面是仿射微分几何主要的研究对象。目前，对于仿射超曲面的研究，无论是从整体还是局部都有很多有趣的结果，但也遗留了一些重要的问题未能解决。另一方面，具有典型几何性质的仿射超曲面越来越受到重视，但有效的研究方法较少且相对困难。. 综上所述，本项目拟在已有的工作基础上，对下述三个方面展开研究：（1）局部强凸的等参或齐性仿射超曲面的构造和分类；（2）仿射球Calabi型复合的特征刻画及其应用；（3）具有典型几何性质的仿射超曲面的分类，例如：具常截面曲率和消失Pick不变量的仿射球，具有平行cubic形式或自合同中心映射的非退化仿射超曲面。

本项目旨在研究仿射微分几何中具有典型几何性质的仿射超曲面，主要结果如下：（1）研究了局部强凸的拟脐齐性仿射超曲面，显示分类了这样的5维齐性仿射超曲面，对于一般维数，给出了某一子类的特征。（2）得到了局部强凸的仿射球的广义Calabi型复合的特征。（3）研究了M. Eastwood和V. Ezhov所构造的一簇齐性仿射超曲面（称为广义Cayley超曲面），借助新的参数化和信息几何中的仿射\alpha-联络，发现它具有类似Cayley超曲面的一些典型性质，更为重要的是找到了广义Cayley超曲面的一个几何特征。进一步，系统研究了具有（相对仿射\alpha-联络）平行Fubini-Pick形式的仿射超曲面，在度量符号的适当假定下完成了分类。本项目的研究结果达到了预期的研究目标，丰富和发展了仿射微分几何中的超曲面理论。