三维磁流体力学方程组及其近似问题整体解的适定性研究

本项目将研究三维磁流体力学方程组（MHD）及其近似问题整体解的适定性.具体来讲有以下几方面:首先将要研究在怎样的条件下,3D-MHD方程组整体解存在,为此需要对局部解建立起破裂(blow-up)准则,并尝试对已有的部分研究结果进行优化.其次对于三维MHD方程组而言,其整体经典解的存在性至今仍是数学界一个公开的问题.而许多实际物理背景并不需要精确了解对应的模型其整体解存在或者局部解破裂的特征. 为此也有大量的研究工作集中在讨论MHD方程组的一些近似模型上,这类近似模型在数学上处理起来比原MHD方程组方便,且保留有原问题的基本特征. 本项目将尝试针对不同的物理背景及目的,建立适当的近似模型并分析其解的规律 ,通过对近似模型解的分析从侧面去推测原MHD方程组解具有的性质. 最后,本项目还将讨论MHD方程组在受到随机扰动的情况下,对应的随机微分方程解的变化规律.

首先本项目对于可压MHD 方程组的blow-up 准则方面, 做了一些研究工作. 确切来讲是对有真空状态出现时的可压MHD 方程组局部强解的存在性及其blow-up 准则做了较为详尽的分析; 分别针对密度, 速度, 压力场等各类不同的物理因素讨论了相应的blow-up条件。其次，对三维不可压磁流体力学方程组的大初值问题, 我们对其初始速度在部分方向上做适当的限制, 证明了其存在(拟)大初值整体解. 这里所谓的拟大初值整体解是指:在一个方向上比较小(受到限制), 但是余下的方向上可以任意大.再次，对于磁流体力学方程组在临界空间中的研究也是我们目标之一,在项目资助下, 本人于2012 年9 月至2013 年9 月在IMA(美国明尼苏达大学)留学. 期间在Vladimir Sverak 教授的建议 下，证明了不可压Navier-Stokes 方程组在初值落在BMO^{-1}空间中时,其对应的Koch-Tataru 型解具有时-空解析性. 这里的BMO^{-1}空间是研究不可压NS方程组并已经建立适定性理论的最大临界空间. 早在2001 年由Koch-Tataru 证明了对于NS 方程组当初值在BMO^{-1}时解的适定性(大初值局部适定性或小初值整体适定性);通过我们的研究发现此类解有更好的性质, 其本质上关于时间和空间都是解析的. 最后，当MHD方程组中的粘性为0 时, 对应的系统可以化成一个双曲系统. 因此我们尝试研究其解的奇性形成. 对无穷远为真空状态的Euler 方程构造性的证明了其解的奇性形成。通过对以上几方面的研究，本项目组在过去三年内发表了10余篇（均为sci收录）相关的研究论文，其中有部分发表在本专业著名期刊例如Jornal Diff. Eqs; Siam JMA.；Discrte Cont. Dyn. Sys.-A; Discrte Cont. Dyn. Sys.-B上。