置换群在组合结构中的应用

Because of the combinatorial researches of algebra and combinatorics, the study of combinatorial structures associated with permutation groups has become an active research topic. For a combinatorial structure with highly symmetric properties, it is important to determine its automorphism groups and the structure itself. In this project, we mainly study the relationship between the group theory and t-designs or graphs. The specific research problems are as follows:.1. classify flag-transitive t-(v,k,lamda) designs;.2. classify block-transitive t-(v,k,1) designs, especially for 3-(v,k,1) designs..3. study the relationship between double Cayley graphs and Cayley graphs, and then, try to research these two kind of graphs by each other;.4. determine the topological index and their automorphisms of certain chemical graphs..The studies of these problems are valuable to construct new combinatorial designs and graphs , using the results and methods of finite groups. Moreover, we also try to understand the structures of abstract groups by the structures of combinatorial designs and graphs. Further, this research topic is also a great new challenge to the group theory.

将置换群和组合结构联系起来研究是近年来代数学与组合学交叉渗透而形成的一个十分活跃的研究领域。对于具有高对称性的组合结构，如何确定这个组合结构的自同构群及这个组合结构本身，这是代数组合中一个非常重要的研究内容。本项申请主要研究群与t-设计及图的联系，具体研究内容如下: 一、分类旗传递t-(v,k,\lambda)设计；二、分类区传递t-(v,k,1)设计，特别是区传递3-(v,k,1)设计；三、 研究双Cayley图与Cayley图之间的关系, 进而探索用双Cayley图去研究Cayley图及用Cayley图去研究双Cayley图的方法； 四、 研究某些化学图的拓扑指数及自同构。这些研究的意义在于一方面可以利用有限群的结果和方法发现新的区组设计和图，另一方面可以利用区组设计和图的结构来理解抽象群的结构。这种研究也给群论界提出了新的挑战。

代数组合是将代数与组合数学结合起来研究的一门学科，利用代数的方法和成果研究组合问题，是数学的一个重要分支。本项目涉及群与组合结构以及代数图论和化学图论。首先我们研究了具有良好传递性的组合设计，得到了区传递3-设计的部分分类结果；其次研究了旗传递大t设计和区传递6-设计，证明了当区组长度小于10000时，Cameron-Praeger猜想成立；第三是研究了Cayley图的同构问题和双Cayley图，得到了点传递图为群G的GI-图的充要条件；第四是研究了图的特征值问题，得到了给定独立数的图的距离谱半径的上界，提出了关于谱半径的弱猜想并得到了部分结果；第五是研究了图的Gutman指数、Schultz指数、修正Schultz指数、基尔霍夫指数、resistance-Harary的极值问题，得到了仙人掌图的度和Gutman指数的极值问题及相应的极图，等等。在“Linear Algebra Appl.”、“Journal of Pure and Applied Algebra”、 “Electronic Journal of Combinatorics”、 “Graphs and Combinatorics”、“MATCH Commun. Math. Comput. Chem,”、“Applied Mathematics and Computation”等国际重要杂志上发表论文近四十篇。