代数结构的关联图的自同构群及其图论性质研究

The research content of this project belongs to the group and combinatorics category, and it will involve group theory, combinatorial design theory and graph theory. This project will combine the above three aspects, and the specific research content includes the following three aspects: the incidence graph of combinatorial designs; generalized Cayley graphs; the graph forming by algebraic structures. Through the study of the incidence graph of combinatorial designs to find a new idea of solving several conjectures in group and design theory; investigate the relationship between generalized Cayley graphs and Cayley graphs, characterize the finite groups which satisfying that their generalized Cayley graphs and Cayley graphs having some of the same properties; study the properties of graphs forming by algebraic structures, in particularly, the connectivity and spectra of these graphs. By the implementation of this project, we try to innovate the existing research methods in group and design theory and spectral graph theory, propose new research ideas and new research directions, to get some new and breakthrough results.

本项目研究内容属于群与组合数学理论的范畴，将涉及到群论、组合设计、图论。本项目将这三方面内容有机结合起来研究，具体研究内容包括三个方面:组合设计的关联图；广义凯莱图；由代数结构产生的相关图。通过对组合设计的关联图的研究，寻找解决群与组合设计中的几个猜想的新思路；探讨广义凯莱图和凯莱图的联系，弄清楚具有什么结构的有限群，它的广义凯莱图和凯莱图具有某些相同的性质；讨论由代数结构产生的相关图的图论性质，重点考虑连通性和图谱性质。通过本项目的实施，试图创新群与组合设计和图谱理论已有的研究方法，提出新的研究思路、新的研究方向，得到新的、突破性的成果。

代数组合是将代数与组合数学交叉的一门学科，利用代数的方法和结论研究组合数学中的问题，是当今离散数学的一个重要分支。本项目主要涉及群与组合结构以及代数图论方面的研究。在组合设计方面，第一，我们利用t设计构造了一类特殊的关联图并找到了一类新的半传递图；第二，我们分类了当自同构群的基柱是Sz(q)时的区传递2-(v,k,1)设计，第三， 得到了一类特殊不完全典范Kirkman覆盖设计存在的一个充分条件。在群与图方面，第一，我们利用特征标得到了几类双循环群的整谱Cayley图，并进一步得到了一些二面体群与双循环群上的距离幂整谱Cayley图；第二，我们研究了广义Cayley图的同构问题，定义并研究了GCI群， 为广义Cayley图的研究提供了新思路；第三，我们运用组合计数和比较深刻的置换群研究了小度数2测地线传递图的局部子图的结构和性质。在图谱方面，我们得到一个图是\beta-deficient 的一个Q谱充分条件，利用邻接谱半径得到了一个图是beta-deficient或k连通的或是k-哈密顿或者是 k 条路可以覆盖的充分条件，相关结果是纯图论中相关Dirac型条件的有益补充。我们也考虑了国际图论鼻祖、沃尔夫奖获得者Paul Erdos等人得到的关于扇图的Turan型问题对应的谱问题。在 “Linear Algebra Appl.” 、 “ Linear Multilinear Algebra” 、 “ Discrete Appl. Math.” 、 “ Discrete Math.” 、“Monatshefte fur Mathematik” 、 “ Ars Math. Contemp.” 、 “ J. Symbolic Comput.” 等知名杂志上发表高水平论文超过30篇。