半线性椭圆方程组解集的结构及其应用

This project intends to consider the existence, uniqueness, multipilicity of solutions to semilinear elliptic systems by implicit function theorem, local and global bifurcation theory, degree theory and the comparison principles. We can consider the applications are the studies of the steady states of chemotaxis and reaction differential systems in heterogeneous environment. Moreover, one study how the heterogeneity of the environment effect on the dynamics of the reaction differential systems.

本项目的主要目的是利用局部、全局分歧定理，度理论和比较原理等工具，研究某些半线性椭圆方程组解的存在性、唯一性或精确多解性、以及解是否具有稳定性或发生分歧现象，给出解集结构的精确刻画。并考虑以上结论在某些趋化性问题以及某种奇异性环境中的生物、化学反应模型的应用问题，给出相应稳态问题的解集结构，并进一步研究空间奇性对反应扩散系统系统的动力学行为的影响。

本项目以具有奇异性的半线性方程偏微分方程组为研究对象，重点研究了带有奇性的椭圆方程组以及某些反应扩散方程组稳态系统的解集的结构问题。以隐函数定理，局部、全局分歧定理，度理论和比较原理等工具，分别刻画解集中解的精确个数，解集的分歧结构以及解集构成方式。将种群生态学以及环境生态学中所建立的和空间变量有关的半线性反应扩散方程（组），考虑其平衡解所满足的稳态（椭圆）方程组，运用分歧方法、上下解方法、特征值理论和拓扑度方法研究解集的结构，并在此基础上进一步研究空间奇性对反应扩散系统系统的动力学行为的影响。