非线性广义逆与非线性方程解集的结构及其应用

本项目以具有奇异性的非线性（算子、偏微分）方程为研究对象，重点研究其解集的度量结构，拓扑结构及微分结构。以算子广义逆、分歧理论、Bananch流形、Morse引理及（全局、局部）隐函数定理为工具，分别刻画解集中分歧解集、连通分支、光滑坐标卡及有限解的精确个数等。将种群生态学，环境生态学，化学动力学中所建立的拟（半）线性反应扩散方程或平衡解满足的椭圆方程，经恰当选取状态空间，定义算子，化为抽象空间中算子方程，将所获得的抽象结果，并结合具体分析，而完成对具体系统的定性分析或定量分析，为应用非线性科学提供新的分析工具。 对具有奇异性的线性算子方程，遵循M.Z.Nashed提出的研究建议，给出M.Z.Nashed所定义的度量广义逆的单值连续选择，进一步完善非线性广义逆理论。

本项目以具有奇异性的非线性（算子、偏微分）方程为研究对象，重点研究了非线性方程解集的度量结构、拓扑结构及微分结构及线性算子的度量广义逆等非线性广义逆。以算子广义逆、分歧理论、Banach流形、Morse引理及隐函数定理为工具，分别刻画解集中的分歧解集、连通分支及有限解集中解的精确个数或解集构成方式。研究了从退化单特征值出发的分歧定理，得到了当通常的横截条件不成立时发生在单特征值附近的对称性分裂的分歧定理; 研究了具有二维核空间的双鞍结点分歧定理,补充了经典的Crandall&Ribinowitz的分歧定理。将种群生态学、环境生态学、化学动力学中所建立的和空间变量有关的拟（半）线性反应扩散方程（组），或其平衡解所满足的椭圆方程（组），运用分歧方法、上下解方法、拓扑度方法及Morse引理研究解集的结构；或选取恰当的状态空间，定义相应的算子，将所研究的偏微分方程化为抽象空间中的算子方程，将本项目所获得的抽象结果，经过具体分析，而完成对具体偏微分方程模型的定性分析或定量分析，完成对于解集的具体刻画。对于具有奇异性的线性算子方程或线性算子包含，遵循M.Z.Nashed于1974年在Bull.Amer.Math.Soc.提出的研究建议，进一步给出M.Z.Nashed所定义的度量广义逆的单值连续选择及多值线性算子的单值度量广义逆的刻画。特别，给出Banach空间中Moore-Penrose度量广义逆的扰动定理。对于Banach空间中闭值域线性算子的有界外逆，(2,3)-逆及有界斜投影广义逆，通过广义的Neumann引理及稳定扰动的概念，获得一批新的扰动定理，为进一步研究Banach流形的结构奠定了基础。