一类半线性椭圆型方程组的变分法研究

本项目主要应用变分方法研究一类半线性椭圆型方程组，包括与Maxell方程耦合的Schrodinger方程、Klein-Gordon方程和Dirac方程以及相应的奇异扰动问题。这类方程组在量子力学、半导体理论等领域有着广泛的应用。 我们将在系数函数和非线性项满足更一般的条件下，研究相应的变分泛函，获得非平凡解、正解的存在性和多解性。对于常系数的方程组，我们讨论其正解的径向对称性以及基态解的性质。对于相应的奇异扰动问题，我们将主要讨论解的集中现象，以及系数函数的临界点对解的集中位置的影响。 此外，我们将通过对这类方程组的研究探索相关的理论问题，比如与方程组有关的临界点理论等重要课题。

在该项目执行期内,项目组主要以与Poisson方程耦合的Schrodinger方程以及相应的奇异扰动问题为研究对象，综合应用变分方法和非线性分析方法研究该类方程组解的存在性、多解性、峰值解的集中性. 在位势为临界频率或变号位势并带有参数的情形下，研究了该方程组非平凡解的存在性，并证明了集中于位势函数零点集上的半经典解的存在性. 在位势为径向函数,并允许位势衰减到零的情形下，通过建立径向函数构成的Sobolev空间的紧嵌入定理，并利用临界点定理、径向函数的Strauss不等式以及椭圆方程的先验估计，在非线性项只在零点附近加条件的情形下建立了非平凡解的存在性、无穷多解的存在性. 在非线性项具有混合增长特性的情形下,通过分析变分泛函的几何性质,结合临界点定理以及椭圆方程的先验估计,获得了该方程解的存在性、无穷多解的存在性和渐近性质. 这些结果完成了项目申请中所涉及的存在性和集中性问题. 项目组还研究了外区域上具有竞争项的拟线性椭圆方程解的存在性和多解性问题、具有临界增长的拟线性椭圆型方程解的存在性和可解性、Hamilton型的Schrodinger方程组基态解的存在性和无穷多解的存在性问题.. 这些研究结果完成了项目申请中所涉及的主题内容，丰富了椭圆方程和方程组的理论.在项目执行期间,项目组成员已在国际SCI收录杂志发表学术论文6篇, 在此基础上申请到国家公派访问和北京市青年英才计划的资助，培养硕士研究生1名.