自守L-函数零点分布理论的应用研究

现代数论中最前沿的课题大都是围绕着Langlands纲领展开的。自守L-函数是Langlands纲领的核心内容之一。自守L-函数理论是代数、几何、分析等学科交汇点上的新兴领域，这个领域既包含着解决数学问题的重大潜力，也包含着许多迷人的猜想。素数分布理论是经典解析数论的非常活跃、备受关注的领域。本项目拟将自守L-函数理论的结果应用到素数分布问题，找到经典解析数论与日益活跃的现代数论的结合点，研究内容包括：一、利用自守L-函数的零点密度及非零区域的结果研究Hecke特征值在小区间素数中的分布。二、将零点探测、Dirichlet多项式的均值估计等经典技术应用到自守表示L-函数中去，得到GL(m)上自守L-函数的零点密度估计，进而研究GL(m)上自守L-函数的小区间素数分布定理。三、利用自守L-函数的零点密度证明全纯尖形式的傅里叶系数在Piatetski-Shapiro孪生素数中的分布。

现代数论中最前沿的课题大都是围绕着Langlands纲领展开的。自守L-函数是Langlands纲领的核心内容之一。自守L-函数理论是代数、几何、分析等学科思想的交汇；这个领域既包含着解决数学问题的重大潜力（例如，费尔马大定理的证明），也包含着许多迷人的猜想，其中居于核心地位的是广义Riemann猜想，即关于自守L-函数的零点分布问题。本项目三年的研究以经典解析数论中的零点探测、Dirichlet多项式的混合估计、自守L-函数的性质等理论为基础，深入研究了GL(n)上自守L-函数零点分布，并探讨其在素数和Piatetski-Shapiro素数中的分布等经典解析数论问题中的应用，得到了一些在解析数论方面居于国内领先的理论成果。