圆周上非自治反应扩散方程的动力学

This project is to study the large time behavior of bounded solutions for non-autonomous, especially almost periodically forced reaction-diffusion equations on the circle. We use localized method to investigate the topological structure of invariant sets of this system, that is, ustilize the connections beween discrete Lyapunov functional and invariant manifolds, and combine the special properties of bundles control theory and monotone systems to carry out this reasarch. For the systems with nonlinearity satisfied reflection symmetry, the struture of limit sets will be deeply described. For general almost periodic reaction diffusion eaquations, we will make an intensive study for the existence of new almost automorphic phenomenon and new almost periodically forced circle flows.

本项目研究圆周上非自治特别是几乎周期驱动反应扩散方程有界解的长时间动力学性态。利用系统所具有的离散李雅普诺夫泛函与不变流形之间的联系，并结合丛控制理论以及单调动力系统所特有的性质，采取局部化方法研究系统不变集的拓扑结构。对于非线项具有反射对称性的特殊情形，对极限集结构做系统深入刻划。对于圆周上一般情形的几乎周期驱动反应扩散方程深入研究新几乎自守现象的存在性以及几乎周期驱动圆周流的存在性。

本项目主要研究了一维周期边条标量非自治半线性抛物方程有界解的渐近行为这一抛物方程动力学的经典问题。该问题自治与周期情形下解的渐近行为已有完整清晰的刻画；对应的分离边界条件（即；Dirichlet边条，Neumann边条）下的非自治情形也于上世纪90年代中后期被国际知名微分方程与动力系统专家沈文仙与易英飞合作解决。而具有周期边条，多频驱动下的动力学刻画却是停滞不前的。其困难有如下几点：外部频率对系统的复杂性产生重要影响；处理非自治系统问题所用的工具要比处理自治与周期系统复杂许多；周期边界条件下解的渐近行为比分离边界条件下的情形复杂许多。. 本项目利用系统的零点数函数的轨道衰减性，在斜积半流的框架下通过建立起系统不变集上不变流形与线性化系统的不变空间与Floquet理论之间联系，结合解的群作用不变性与特殊情形下的反射对称性将已有周期系统与自治系统的相关结论一般化到几乎周期系统中，且取得一系列重要进展。本项目给出了该类方程对应的斜积系统的几类重要不变集拓扑结构的精确刻画，并发现了新的几乎自守现象-几乎自守驱动的圆周流。这些结论和实例揭示出多频驱动具有比单频驱动以及时间恒定驱动更为复杂的动力学行为，同时系统不变集结构的复杂性与不变集上对应的中心流形的维数密切相关；某些特定情况下由抛物方程生成的非自治系统中可能存在几乎周期驱动的圆周流。. 本项目中，负责人与其合作还研究了高维有界区域上非自治反应扩散方程有界解的渐近行为。并证明了：非线性项满足一定的凹凸性条件下，任何线性稳定的几乎自守解都是空间齐次的。这揭示出其线性稳定的解动力学性态是相对简单的；同时也将P. Hess等人在自治以及周期系统下的结论部分地推广到了几乎周期的情形。