抽象空间中非线性发展系统解的长时间行为及相关性质

In this project, we will investigate deeply the long-time behaviors and related properties of solutions for several classes of nonlinear evolution systems in abstact spaces. Our main research contents concern the following issues: solutions to second order damped dissipative systems with dynamical boundary conditons; solutions tosecond order nonlinear evolution systems with nonautonomous damping; decay rates for second order nonlinear evolution systems with noncoercive main operators; controllability of nonlinear viscoelastic evolution systems. Our purposes are to make important developments on the study of the following key problems: “How to explore the existence, uniquness and long-time behaviors of solutions for second order nonlinear dissipative hyperbolic systems with acoustic boundary conditons, which are coupled and of dynamical type, containing nonlinear damping and involving nonlinear potential ?”, “For second order nonlinear evolution systems with a nonautonomous linear frictional damping and a weak integral forcing term, how to judge if their solutions go to equilibria?”, “For the solutions of second order nonlinear evolution systems with frictional and viscoelastic dampings, how to establish more general criteria for exact upper and lower estimates?”, “How to set up novel boundary controllability and observability theorems for viscoelastic beam equations?” etc., to promote and improve essentially the existing theories, and to further the development of the related fields.

本项目将对抽象空间中非线性发展系统解的长时间行为及相关性质开展深入的研究，研究内容涉及到的主题是：动力边界条件下阻尼二阶耗散系统的解；具有非自治阻尼的二阶非线性发展系统的解；具有非强制主算子的二阶非线性发展系统的衰减率；非线性粘弹性发展系统的能控性。我们将在“如何研究由带有非线性阻尼及位势的动力边界条件和一个边值关系式耦合而成的声边界条件的双曲型二阶耗散系统解的存在唯一性和长时间行为？”、“对具有非自治线性摩擦阻尼项和弱化可积强迫项的二阶非线性发展系统，如何判断其解是否有趋于平衡态的性质？”、“对具有摩擦阻尼和粘弹性阻尼的二阶非线性发展系统的解，如何建立更广泛的有精确上下估计的判别法则？”、“如何对具有记忆的梁方程建立新颖的边界能控性与能观性定理？”等关键问题的研究中取得重要进展，使现有的有关理论得到本质性的推进和完善，并带动和促进相关学科领域研究的纵深发展。

我们针对一类带有非线性阻尼及位势的动力边界条件和一个边值关系式耦合而成的声边界条件的双曲型二阶耗散系统，在只有一个记忆阻尼作用于声边界而且只是部分作用的广泛情形下，给出了此耗散系统解的存在唯一性定理，并弄清楚了其解的长时间行为：是多项式衰减的，还给出了多项式衰减率；在线性情况下解答了由 M.M. Cavalcanti, A. Khemmoudj, M. Medjden 十多年前联合提出的一个因缺乏内部阻尼而产生的关于二阶系统的渐近性和稳定性难题；利用我们提出的一种新的研究方法：渐近速率逐渐锐化法，获得了一类Hilbert空间中具有非线性位势的二阶非自治发展系统能量的最优衰减率；对具有非自治线性摩擦阻尼项和弱化可积强迫项的二阶非线性发展系统，得到了其解趋于平衡态的基本性质；分析了关于具有非强制主算子和局部摩擦阻尼的二阶非线性发展方程的解有最优的上下估计的可行性条件与非强制主算子、局部摩擦阻尼、松弛函数间的联系，并导出相应的判别法则；对一类具有记忆的梁方程，我们利用矩量理论建立了新颖的边界能控性和能观性定理；论证了关于一类两个粘弹性发展方程的主算子不可比较情形下耦合而成的抽象阻尼耦合发展系统的适定性定理和能控性定理，并给出了相应的最优和一致衰减率；提出了一种新的、有效的研究非线性 Wentzell边界条件带有速度反馈控制情形下双曲型阻尼二阶耗散系统的混合初边值问题的适定性和稳定性的方法，获得了理想的适定性定理和优化的边界稳定性和能量衰减率结果; 我们去掉了记忆阻尼影响域必须包含一部分边界这一传统而基本的假设，证明了两大类同时具有摩擦阻尼与粘弹性阻尼的二阶非线性发展系统的解依然保持一致指数稳定或多项式稳定，等等。 我们在《J. Differential Equations》、《SIAM J. Control Optim》、《Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat.》、《Proc. Amer. Math. Soc.》、《ESAIM Control Optim. Calc. Var.》、《Appl. Math. Optim.》等学术刊物上发表相关研究论文20多篇。