Cartan型模李超代数的表示

Modular Lie superalgebras play an important role in the theoretical physics and mathematics, and modular Lie superalgebras of Cartan type play an important roles in modular Lie superalgebras. At the present stage, representation theory of modular Lie superalgebras of Cartan type still in the early stage. So the representations theory of modular Lie superalgebras of Cartan type needs to be researched. Thus we will study the restricted and non-restricted representions for some restricted modular Lie superalgebras of Cartan type and representions for some non-restricted modular Lie superalgebras of Cartan type. The expected results will promote the development of the representation theory of modular Lie superalgebras. The contents of the project are listed as follows: .① Get the Cartan invariants for restricted modular Lie superalgebras of Cartan type S，H，K，HO，SHO，KO，SKO, and characterize the projective modules for these superalgebras and give their dimensions;.② Study the irreducibility of non-restricted Kac modules for restricted modular Lie superalgebras of Cartan type K, HO, KO, SKO, and give the classification of non-restricted irreducible representation;.③ Study the representation theory of some non-restricted modular Lie superalgebras of Cartan type with small dimension by use of the generalized restricted Lie superalgebras and give the classification of irreducible representation.

模李超代数在理论物理和数学领域中扮演重要角色，而Cartan型模李超代数在模李超代数中又占有重要的地位。现阶段Cartan型模李超代数的表示理论还处于起步阶段，因此Cartan型模李超代数的表示理论亟待研究。本项目拟对某些限制Cartan型模李超代数的限制表示与非限制表示以及非限制Cartan型模李超代数的表示做一系列的研究。项目的预期结果对模李超代数表示理论的发展具有促进作用。项目的工作具体陈述如下：.① 计算限制Cartan型模李超代数S，H，K，HO，SHO，KO，SKO的Cartan不变量，刻画这些代数的不可分解投射表示并给出它们的维数；.② 研究限制Cartan型模李超代数K，HO，KO，SKO的非限制Kac模的不可约性并得到非限制不可约表示的分类；.③ 利用广义限制李超代数研究某些小维数的非限制Cartan型模李超代数的表示理论，给出其不可约表示的分类。

现阶段典型李超代数以及部分Cartan型模李超代数的表示已经具有一些研究成果，但是尚有部分Cartan型模李超代数的表示没有被研究，因此本项目对Cartan型模李超代数的表示以及相关问题进行了研究。本项目主要研究内容为部分限制Cartan型模李超代数的表示、Cartan型模李超代数的构造以及与Cartan型模李超代数的表示相关的问题。. 项目的主要研究内容如下：.① 研究了限制Cartan型模李超代数SHO，KO，SKO的限制Kac模的不可约性；.② 研究了限制Cartan型模李超代数HO，SHO，KO，SKO的限制Kac模的不可约商模；.③ 构造了一类Cartan型模李超代数；.④ 研究了Cartan型模李超代数的自同构；.⑤ 研究了一些与Cartan型模李超代数的表示相关的结构性问题。. 在项目执行期间，项目负责人及其合作者得到如下结果：.① 刻画了李超代数SHO，KO，SKO的限制Kac模，给出了这些代数的限制Kac模不可约的充要条件；.② 得到了李超代数HO，SHO，KO，SKO的限制Kac模的特征标与合成因子； .③ 构造了无限族特殊奇Contact李超代数，证明了这类代数的单性并计算了维数； .④ 证明了有限维Cartan型李超代数W，S，H以及K的同构可唯一地扩充为无限维Cartan型李超代数W的自同构； .⑤ 刻画了一些李（超）代数的（超）双导子与线性（超）交换映射。 . 在本项目的资助下，项目负责人及其学生以及他们的合作者共完成了13篇论文，其中SCI论文7篇，国内期刊论文3篇，另外3篇论文已经投稿但是在该项目结题时尚未被接收发表。. 李超代数的表示理论源自于物理，它揭示的是物理中粒子之间的相互关系，因此研究李超代数的表示理论必将对物理学的发展起到极大的促进作用。李超代数的表示理论对李代数，以及组合数学、顶点算子代数、微分流形、拓扑、李群等等的发展都具有促进作用。