随机增长过程的渐近分布理论及其应用

The project is devoted to the study of asymptotic distribution theory for random growth models. In particular, we focus on a few of solvable models and their variants like directed polymer models, infinite weakly asymmetric simple exclusion interacting particle systems, Dyson Browian motions, Kardar-Parisi-Zhang random growing interface models. Among the main research interests are random growth modes, random fluctuation distributions, time-space correlation functions and the rate of convergence to the limits. The aim is to further dig up more solvable models belonging to the universality classes and look for some new types of limiting distributions and random processes. Main techniques we will use in work are variational formulas for optimization problems, asymptotic analysis for determinantal point processes and two-parameters kernel functions, solving the martingale problems and deciding its convergence, estimations for high moments and generalized Laplace transforms. A refined analysis for Tracy-Widom type distributions and Airy type processes will play a crucial role throughout the project...The project will make many efforts to establish the link between such research fields as asymptotic distribution theory of random growth models and phase transitions in statistical physics, spectral theory of high dimensional random matrices, solvability of nonlinear stochastic partial differential equations, representation theory of infinite dimensional symmetric groups...The study of random growth processes is currently a both hot and active field in probability theory. The present project will hopefully make a remarkably positive contribution to development of such a field around China.

本项目致力于随机增长过程的渐近分布理论研究. 特别，着重研究有向聚合模型，不对称单排他交互粒子系统，Dyson布朗运动，Kardar-Parisi-Zhang随机界面增长模型以及它们的变化形式. 主要研究内容：随机增长过程的增长方式，随机波动分布，时-空相关函数以及渐近收敛速度，旨在进一步探索属于KPZ普适性类的更广泛可解模型，并寻求新型分布及随机过程. 主要方法：优化问题中的变差公式，行列式点过程以及二参数核函数的渐近分析，鞅问题求解及收敛性，高阶矩及广义Laplace变换的估计等. 详细分析Tracy-Widom型分布及Airy型过程将在研究中起着关键作用..本项目将努力建立随机增长过程渐近分布理论与统计物理相变、高维随机矩阵谱理论、随机偏微分方程可解性、无穷维对称群表示等领域的联系..随机增长过程是当前概率论中一个十分活跃领域，本项目将为推动该领域在国内的研究和发展做积极贡献。

随机增长过程用于描述一类随着时间t推移而在空间位置x上发生变化(增长)的随机现象。刻画随机增长过程的最基本数量包括：大小、长度、高度等，最基本问题在于揭示随机增长过程的增长方式(概率分布规律)。它是当前概率论中一个十分活跃领域。..本项目致力于随机增长过程的渐近分布理论及应用研究。特别，着重研究：无穷维排它过程交互粒子系统的动力学极限；高斯随机场的样本轨道性质及其应用；高维随机矩阵的各种变化形式下，特征根和特征向量的渐近分布及其应用；随机整数划分在乘积型测度下经适当尺度变化后增长曲线以及波动分布。项目组共发表学术论文20余篇， 其中代表性成果包括：.(1)研究有限秩外源的高斯酉矩阵模型，获得最大特征根相伴的特征向量的渐近分布， 其形式由广义Airy 核的行列式点过程刻画。主要工具是特征根-特征向量等式以及子矩阵行列式点过程的表示，主要结果揭示了特征向量的相变现象。.(2)研究环上周期性格点上的不对称排他过程，通过构造转移概率函数，并对Betha方程的仔细分析，获得详细的转移概率公式，为非行列式点过程的周期性粒子系统提供了一个简洁精确的代数几何结构， 并在一般初始条件下，计算出Tagged粒子的分布函数。另外，给出q 全不对称零值过程的转移概率积分公式和Tagged粒子的分布函数。这些工作为后续渐近行为分析奠定基础。.(3）研究具有平稳增量的高斯随机场，在近似全迷向的条件下，获得样本轨道的局部最小波动和一致最小波动。推广了著名的Chung型重对数律和Khinchine重对数律，并和一致连续模相结合，获得随机场的正则性质。这些结果可应用于分数Riesz–Bessel过程，Matérn –Cauchy类随机场。.(4）研究 Muttalib-Borodin 双正交系，即Laguerre-型行列式点过程，推导双正交多项式位于零点附近的渐近性质，并得到相关性核的极限，从而证实了普适性。其证明方法主要是基于Deift-Zhou 关于向量值 RH 问题的非线性速降法，并利用Meijer G-函数详细构造零点附近的局部解。.(5）研究Spike样本协方差阵，在上临界区域下给出一些最大特征根所对应特征向量的极限分布。并将这些理论结果应用于主成分分析相关的假设检验问题中，数值模拟证实了检验统计量的精确度和效果。