两类非线性薛定谔方程的最优控制问题

Applying the ideas and methodology developed in nonlinear analysis and optimal control theory, this project investigates optimal control problems of the nonlinear Schrödinger equation which describes the evolution of X-ray free electron lasers and the nonlinear Schrödinger equation with superquadratic potentials. These problems are related to quantum control, despite the important physical significance, rigorous mathematical work appears very limited. We will systematically study for these equations the local well-posedness, global existence, regularity and the Lipschitz-continuity of the solutions with respect to the control parameters; then we will prove the Fréchet-differentiability for the proper objective functionals, and study the existence of an optimal control and its precise characterization. On this basis, our goal is to obtain some new frameworks and methodology that can manifest the characters of these equations to describe optimal control problems. The results of this project will have significant impacts not only on the deep understanding of optimal control problems of quantum systems governed by nonlinear Schrödinger equations, but also on the development of theory and applications for nonlinear analysis, partial differential equations and optimal control theory.

本项目将运用非线性分析和最优控制理论的思想和方法研究描述X射线自由电子激光演化的非线性薛定谔方程和带超二次位势的非线性薛定谔方程的最优控制问题。这些问题与量子控制有关，尽管有很重要的物理意义，但目前严格的数学工作很少。本项目将系统地研究这两类方程的局部适定性、整体存在性、正则性以及解对控制变量的Lipschitz连续性，并对适当的目标泛函，证明其Fréchet可微性，进而获得最优控制的存在性及其精确刻画。在此基础上，建立能反映这两类方程特性的最优控制问题的理论框架。这些研究将加深对非线性薛定谔方程所支配量子系统的最优控制问题的理解，推动非线性分析、偏微分方程和最优控制理论和应用的发展。

申请人主要在下述三个方面的研究中取得突破:1)基于X射线自由电子激光薛定谔方程重要的物理意义，提出了相应的目标泛函，建立了研究这类方程最优控制问题的数学框架，获得了这类方程解的局部适定性、全局存在性、正则性、解对控制参数的Lipschitz或Holder连续依赖性、目标泛函的Fréchet可微性、最优控制的存在性以及精确刻画。该工作已发表在控制学顶级杂志“SIAM J. Control Optim.”上。另外，我们还研究了这类方程的均匀化问题，推广并改进了P.Markowich等人发表在Arch. Ration. Mech. Anal.中的结果。2)系统地研究了分数阶薛定谔方程基态驻波解的稳定性以及强不稳定性；研究了带幂型或Choquard型非线性项的分数阶薛定谔方程标准化解的存在性以及稳定性；证明了带质量临界非线性项的薛定谔泊松系统驻波解的不稳定性，解决了Bellazzini, Jeanjean等人遗留的问题。3)我们建立了带质量临界和次临界非线性项的薛定谔方程解全局存在和爆破的最佳条件以及爆破解的动力学行为，并且对带有混合非线性项分数阶薛定谔方程，也建立了类似的结果。这些工作推广了菲尔兹奖获得者Tao等人的工作。项目主持人以第一作者在SIAM J. Control Optim.、J. Dynam. Differential Equations、J. Evolution Equations、Discrete Contin. Dyn. Syst.、J. Math. Phys.、Commun. Pure Appl. Anal.、Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B、Nonlinear Anal.、J. Math. Anal. Appl.等分析类和方程类权威杂志上发表SCI论文12篇，其中有4篇论文进入ESI高被引论文。