非线性薛定谔方程和自由边值问题中的典型问题

本项目主要研究起源于量子力学的非线性Schr?dinger方程和流体力学与等离子体的自由边值问题。我们采用非线性泛函分析的理论并利用构造性方法研究非线性Schr?dinger方程在某些具有特定的几何结构或拓扑性质的区域上或在不同的位势函数条件下的半经典态的存在性和多解性, 同时对其解的渐近性质及结构和形态等进行分析。关于自由边值问题，我们用变分方法结合约化技巧研究其"非线性奇性退化"现象：即其Stokes流函数的存在性，并分析其截面或等离子集的相关性质。本项目所研究的问题是由国际著名数学家直接提出的公开问题或猜想，是偏微分方程中的基本问题,在量子力学和流体力学的研究中有重要意义,受到国内外同行的广泛关注。

本项目严格按照研究内容和研究计划实施，圆满完成。. 1.研究了平面涡旋问题，在非线性项为超线性和带有特征函数的“跳跃”的情形下得到了同时具有多个涡环的流函数。2.研究了带有线性或非线性耦合项的Schrodinger系统，得到了其任意多解或无穷多正解的存在性。3研究了各种Schrodinger方程和Schrodinger-Poisson系统，如：带磁场的情形、带反平方位势的情形、带具有紧支集的位势的情形、拟线性的情形，等等。在不同条件下其（无穷）多解的存在性。4.研究了一类十分典型的带临界指标的拟线性方程无穷多解的存在性，给出了这类问题的一些基本的估计。5. 研究了具有重要几何意义的Yamabe猜想和Heisenburg群上的几何问题，给出了其多个具有几何意义的正解的存在性结果。6.研究了一类半线性具有临界指标的椭圆型方程组，得到了其无穷多解。本项目研究的意义有：1.回答了多位著名数学家提出的公开问题。2.改进并完善了著名的Lyapunov-Schmidt约化理论的理论和应用框架，使得该方法能用于研究非光滑问题和非线性方程组，给非光滑临界点问题和椭圆系统的变分问题，提出了十分有效的研究方法。3.给拟线性问题的研究指出了新的方法。给出了拟线性问题的先验估计结果和其解在无穷远处的衰减性估计，克服了拟线性问题不可叠加带来的困难。4.对位势函数与Schrodinger方程解的影响有了更深刻的描述，完善了关于Schrodinger方程的研究结果和技巧。5.对无界或具临界指标的方程组的研究具有了轮廓性的描述，为后期方程组的研究打下了良好的基础。. 本项目组共发表和接收发表学术论文17篇，参加各类学术会议22次，其中包括出席在台北召开的世界华人数学家大会并作45分钟邀请报告，应邀出席法国国家数学中心组织的专题会议并作特邀报告。先后出访澳大利亚、法国、台湾、美国的高等院校和科研机构共8人次，先后邀请澳大利亚、芬兰、德国、美国、法国的多位知名数学家来访，共邀请国内外数学家做学术报告30余人次。先后组织召开了武汉地区偏微分方程研讨会前后共6次，为中南地区偏微分方程的发展做出了贡献。主持人2012年入选了首批湖北省高端人才引领培养计划并获得第六届湖北省优秀科技工作者称号，获得了教育部“长江学者和创新团队发展计划”。毕业博士生3人，硕士生8人。