高维非线性波动方程Dirichlet问题的周期解

The aim of this project is to study the existence of periodic solutions for multidimensional nonlinear wave equations by variational methods. These problems arise in the fields of quantum mechanics, gauge theory, and other research directions in mathematics and physics. The solvable of wave equations depend upon the space dimension, the shape and the size of the domain, and the time period. We focus our attention on the Dirichlet problems for the wave equations in a multidimensional ball. The problem has the difficulties that the functional corresponding to the wave equation is neither bounded from above nor from below, and the wave operator acting on a multidimensional ball has essential spectrum. Basing on the precise structure of the spectrum of wave operator, we will construct the periodic solutions to wave equations with various nonlinear terms, where the nonlinear terms are sub linear, super linear or asymptotically linear. The approximation argument, reduction method, monotonicity technique and variational principle will be applied to obatin these goals. We also concern with the relationships between space dimension, radius of the ball, time period and the number of solutions. Our research will provide new ideas for finding critical points of some indefinite functionals, which is meaningful in theory and application.

本项目主要应用变分法来研究一类高维非线性波动方程的周期解存在性问题，该问题在量子力学、规范场论等数学物理领域中有着重要的理论意义与广泛的应用背景。波动方程周期解的存在性密切依赖于空间维数、空间区域的形状与大小、以及时间周期的取值，我们针对球体区域上的波动方程进行研究。在高维球域上，波动方程的能量泛函既无上界又无下界，而且波算子有本质谱，这给经典变分原理的运用造成了障碍。我们拟基于波算子谱集结构的精细刻画，综合运用逼近方法、约化原理、单调技术等分析工具，建立与该类不定问题相适应的变分框架，分别在外力项满足次线性、渐近线性、超线性等增长条件下，证明高维波动方程周期解的存在性，并给出解的个数估计与空间维数、球体半径、时间周期的关系。该项目对阐明非线性波动方程周期解的存在机制有重要意义，并为研究不定泛函的临界点存在性提供思路。

本项目研究非线性波动现象中提出来的一些有趣的数学问题，这些问题在量子力学、规范场论等数学物理领域中有着重要的理论意义与广泛的应用背景。上世纪70年代Rabinowitz为一维非线性波动方程周期解的研究开创了新局面，接着张恭庆院士，Nirenberg，Mawhin等众多著名数学家发展了一系列非线性分析方法来研究各类一维非线性波动方程。基于此，本项目在高维波动方程非局部问题与Klein-Gordon方程组解的性态等方面取得了一些进展：1.项目组与合作者关于一类三维空间中双曲型Kirchhoff方程，研究了相应能量泛函的Nehari流形的结构与外力项的扰动系数、增长系数的关系，刻画了解的有界性与有限时刻爆破等行为。2.项目组与合作者证明了一类具有线性耦合项的波动方程组周期解的存在性、正则性与渐近性态。3.项目组与合作者还研究了波动方程反源问题以及修正Helmholtz方程等问题的解及其性质。项目组发表SCI论文5篇。