带记忆项和非线性源的粘弹性方程解的研究

This project is concerned with the qualitative properties for some viscoelastic wave equations with both memory term and source term, which come from the fields of vibration damping materials and fluid mechanics. The main works include the global existence, asymptotic behavior and finite time blow-up of solutions. Based on the perturbed energy technique, convexity method and weighted integral inequality technique, we intend to overcome the effect of the memory term so that we can get the (optimal) decay rate of the energy. By using the potential well theory, we establish the stable set and unstable set to deal with the difficulities brought by the source term, so that we can prove the finite time blow-up of solutions with more general conditions. We try to deal with the effects of the general conditions of the dissipation, the degenerate damping and the indefinite damping, via using a weighted multiplier, obtaining a variational equality satisfied by generalized solutions and using the semigroup setting, respectively. The solution of these related problems not only has scientific significances for the development of theories and methods of the nonlinear evolution equations, but also has an important reference value for the applications on both the viscoelastic material and the hydrodynamics.

本项目研究来源于阻尼减震材料和流体力学等领域的带记忆项和非线性源的粘弹性方程解的存在性、衰减和有限时刻爆破等性态，着重分析记忆项、不同阻尼项和非线性源分别对解的存在性及其各种性态的影响。拟采用扰动能量估计、凸性方法和加权不等式技巧来处理记忆项的影响，设法得到能量的（最优）衰减速率；借助位势井理论建立适当的稳定集和不稳定集以克服非线性源带来的困难，并结合改进的凸性技巧讨论解在有限时刻爆破的更广泛的条件；分别通过定义加权乘子、获得广义解满足的变分不等式、或构造抽象算子半群并采用谱分析方法考虑更一般耗散、退化阻尼、或不定阻尼的影响。 相关问题的解决不仅对非线性发展方程理论方法的发展有一定的科学意义，而且对粘弹性材料等方面的应用具有参考价值。

本项目立足于阻尼减震材料和流体力学等领域的粘弹性问题，系统研究了带记忆项和非线性源的粘弹性方程解的存在性、衰减和有限时刻爆破等性态，重点分析了记忆项、不同阻尼项和非线性源分别对解的存在性及其各种性态的影响。借助位势井理论，利用扰动能量方法和改进的凸性技巧系统研究了来源于带记忆项和非线性源的粘弹性方程或奇性的粘弹性方程解的一般衰减与有限时刻爆破，并应用到初始能量为正的六阶薄膜振动方程解的爆破性质研究；利用扰动能量估计、修正的能量泛函研究了声学边界条件下粘弹性方程解的任意速率的衰减估计；利用Faedo-Galerkin方法、紧性原理、乘子方法和加权不等式技巧研究了声学边界条件下含有边界摩擦与记忆阻尼的非耗散分布系统的解的整体存在性以及一般能量衰减估计，并应用到微分包含问题的研究中；另外，通过构造抽象算子半群并采用谱分析方法研究了带有热弹性阻尼、线性阻尼和时滞的梁振动方程解的存在性与衰减性质。相关问题的解决丰富了非线性发展方程的理论方法，为粘弹性材料等方面的应用以及本项目后续研究工作的开展奠定了基础。.项目组共完成了21篇研究论文，其中16篇论文已发表（含在线发表）在IMA J. Math. Control Inform.、Math. Nachr.、Z. Angew. Math. Phys.、J. Math. Anal. Appl.等SCI期刊，2篇论文已录用，3篇论文在投；多篇论文进入ESI高被引论文、热点论文数据库。成果获得江苏省高校科学技术成果一等奖、江苏省研究生培养模式改革成果二等奖、南京信息工程大学科学技术特等奖等荣誉。