带非局部项的椭圆方程解的渐近性态研究

In this project we will study the existence and the properties of the solutions for some elliptic equations involving two kind of nonlocal terms via variational methods and critical point theory. Arised from electromagnetic field, Hartree-Fock theory of quantum physics and Nonlinear vibration theory, these equations have become a hot spot of current research in the field of nonlinear functional analysis, and a large number of outstanding research achievements were obtained, as well as many challenging research topics are left because of the lack of compactness of embedding of variational settings and the interaction of nonlocal terms that lead to the special structures of equations. This project contains the following three aspects:.(1) we will study the properities of ground states for a class of Choquard equations with competing nonlinearities. Moreover, the asymptotic profiles of ground states and the bifurcation phenomenons will be investigated by using the limit equation..(2) we will study the properities of ground states for a class of Choquard equations with competing nonlinearities and its limit equation. Moreover, the asymptotic profiles of ground states and the bifurcation phenomenons will be investigated by using the limit equation..(3) we will study the existence and the concentration of ground states for a class of singular perturbed Kirchhoff type equations.

本项目拟利用变分方法及临界点理论研究带有两种不同非局部项的椭圆方程解的存在性及解关于参数的渐近性态。这些方程来源于量子力学中电磁场理论、Hartree-Fock理论以及非线性振动理论，是当今非线性分析领域的研究热点，因此产生了许多令人意想不到的研究成果，同时由于空间嵌入非紧及方程所带非局部项导致方程结构的特殊性，遗留下一些具有挑战性的课题。本项目的研究包括以下三个方面：.(1) 研究一类带竞争非线性项的Choquard方程基态解存在性，正则性及衰减性，并利用其极限方程研究基态解关于参数的渐近性态及分歧现象；.(2) 研究一类带竞争非线性项的Schrödinger-Poisson-Slater方程及其极限方程基态解的存在性, 并利用极限方程研究基态解关于参数的渐近性态及分歧现象；.(3) 研究一类奇异摄动的Kirchhoff型方程基态解、变号解的存在性及其关于参数的集中现象。

本项目利用非线性泛函分析及椭圆偏微分方程中的理论和方法围绕带有非局部项的非线性椭圆型方程非平凡解存在性以及解的渐近性态展开研究，取得了一系列有意义的成果，具体包括：1）在几乎最优的参数范围内证明一类带竞争性非线性项的Choquard方程基态解存在性以及解的性态，通过建立不同形式的伸缩变换及能量估计方法刻画基态解六种不同的渐近性态；2）发展并使用能量估计方法并结合前人的工作完整刻画了一类Schrödinger-Poisson-Slater方程的基态解与对应的“零质量”情形的极限方程的基态解之间的收敛关系；3）建立关于Riesz位势函数一些基本且重要的估计以及引入一个新的非局部项正性原理证明一类带双重Riesz位势的积分不等式在最优参数范围内非平凡的非负解的存在性与非存在性；4）引入一种新的限制集合证明四维空间中带临界增长指数的Kirchhoff型方程的基态解为山路型解，并讨论参数之间的关系对解的存在性影响。本项目的研究成果不仅促进非线性泛函分析理论的发展，而且加深对量子力学等物理领域模型的进一步理解。