符号图的模定向与群连通

Signed graphs, as generalization of ordinary graphs, have both positive edges and negative edges. As a natural extension of Tutte’s classical flow theory in graphs, in 1983 Bouchet introduced flow theory of signed graphs from the local tension of embedded graphs in non-orientable surfaces, and he proposed a 6-flow conjecture that every flow-admissible signed graph has a nowhere-zero 6-flow. Recently, DeVos, Li, Lu, Luo, Zhang and Zhang proved a 11-flow theorem on flow-admissible signed graphs, approaching Bouchet’s 6-flow conjecture. ..This project will focus on group connectivity and modulo orientation property in the flow theory of signed graphs, and apply those tools to study integer flows and circular flows in signed graphs. In this project, we will study group connectivity conditions and apply them to convert group flows into integer flows in signed graphs; attempt to prove Bouchet’s 6-flow conjecture by employing group connectivity and boundary functions; apply modulo orientation and contractible configurations to find best possible edge connectivity condition for circular flows. This project will bring new ideas and develop new tools to study flow theory of signed graphs.

符号图是既有正边又有负边的图，是普通图模型的推广。Bouchet1983年从不可定向曲面嵌入图局部张力的对偶出发引入了符号图流理论，并提出了符号图六流猜想。最近，DeVos,Li,Lu,Luo,Zhang,Zhang等人证明了符号图存在11流。符号图流理论是经典的Tutte整数流理论的推广和延伸，具有重要的理论价值和一定的应用背景。..本项目主要旨在研究符号图流理论中的模定向和群连通性质，并以此为工具进一步推进符号图整数流和圆环流问题的进展。本项目将研究群连通条件并以此解决符号图中群流转化整数流的问题；将试图利用群连通方法与边界函数证明或进一步逼近符号图六流猜想；将利用模定向和可收缩图性质探索符号图存在三流和圆环流的最优边连通度条件。本项目的顺利实施将为符号图流理论的研究提供新的思想和工具。

本项目研究图论中的整数流问题，特别是符号图中的模定向与群连通相关问题，已按照计划完成，达到了预期目标。本项目主要取得了如下研究成果：（1）发展新的规约方法证明了所有的无桥符号图中mod-(2p+1)定向与(2+1/p)-圆环流的等价性，推广了Jaeger在普通图上的经典结果，并且运用图因子的工具证明了关于符号图圆环流单调性的Raspaud-Zhu猜想在圆环流值为2+1/p时（其中p至少为3）对于无桥符号图成立，而先前已有反例说明该猜想对于有桥的符号图不成立；（2）建立了保持群连通性的流扩展和图类叠加运算的新方法，通过构造几种不同图类的叠加运算与归纳迭代，完全刻画了3-边连通图的群连通性与群结构的关系，回答了Lai等人(Acta Math. Sin. En. 2011) 和 Husek等人(JGT 2020) 的两个公开问题；（3）建立了关于圆环流值严格小于3问题的子图可收缩结构的系统性理论，并运用该方法证明了多个6-边连通的图类都存在流值严格小于3的圆环流；（4）证明了匹配数有界的图类在排除掉有限多个可收缩结构后都存在(2+1/p)-圆环流，给出了关于Jaeger圆环流猜想的某种相对正面的回答；（5）提出了图与符号图中关于加权模定向问题的可收缩结构的概念，利用这个新的收缩方法在一定的连通度条件下证明了多个图类上加权模定向的存在性。