自由边值问题的若干适定性的研究

The free boundary problem of Navier-Stokes equations is not only closely related to physics and chemistry, but also has a great bearing on peoples common life. It might be used to represent many phenomena happened in nature and usual days. We consider the dynamics of an incompressible viscous fluids evolved in an open-top domain under the influence of gravity, of which the top boundary is free. If the domain is horizontally infinite or periodic, this problem is called viscous surface waves, which has attracted many famous mathematicians and physicists. This problem now is mainly compatible with energy of higher order. However, the energy in physics is lower regular. So, searching for solutions in lower regularity is much more important. If the domain is bounded, the three-phase interface where the fluid, air and vessel wall meet is known as contact points or contact lines. The contact lines could result in singularities in mathematics, which might affect the stability of fluids and ensure that the energy has only lower order. Our research is mainly to study the well-posedness and stability of viscous surface waves and contact lines with lower regularity, which mainly includes the large data of local well-posedness of viscous surface waves with surface tension, the small data of global well-posedness of viscous surface waves without surface tension, and small data of well-posedness and stability of contact lines.

Navier-Stokes方程的自由边值理论与江河海洋及物理化学实验密切相关，可以用来解释自然界和日常生活中遇到的很多现象。考虑黏性不可压流体在重力作用下的动力学行为，其中流体占据的区域是随时间演化的，区域的上边界是自由边界，其他边界是固定的。如果区域在水平方向上是无限的或者周期的，即为黏性水波问题。黏性水波问题的研究目前主要是高阶能量方法。由于物理中的能量都是低阶的，因此寻求低正则的解更具有物理意义。如果区域的水平方向是有界的，则流体，容器壁和空气三者相接触的地方出现角点。角点产生的奇性，决定了能量只能有低阶性。本项目就是在低正则条件下，采用算子半群理论和能量方法相结合的思想来研究黏性水波在表面张力作用下的大初值局部适定性，不含表面张力的小初值整体适定性以及角点问题的小初值整体适定性和稳定性理论。

流体中的自由边值问题有广泛的物理背景和基础，比如河流海洋的流动，容器中的水加热等。这些现象和人们的日常生活密切相关。由于这类问题往往需要初值有较高的光滑性，以保证抛物方程的方法能够适用。但在实际问题当中，或者就纯数学问题而言，初值的光滑性是很低的，或者在数学中尽可能的低，已得到最有的结果。低正则在数学上会产生一些技术困难，在数学上是值得研究和探索的。本项目主要的研究内容为稳态Navier-Stokes方程及非稳态的Navier-Stokes方程的自由边值问题的适定性。项目最终得到了小初值的稳态2维稳态Navier-Stokes方程的几乎整体适定性，3维表面波的小初值低正则整体适定性，2维角点问题在Navier-Stokes流中的整体适定性以及2维稳态Benard对流问题的小初值整体适定性。其中最重要的研究进展是关于2维角点问题的研究，里面有一些新的研究方法，体现的研究思路和研究技术为接下来3维角点问题的研究提供了非常有益的参考和经验总结。在角点问题的研究中，通过把原问题转化为平衡态附近的扰动问题，利用能量与耗散的关系不等式，光滑化原理，以及倒向的正则性估计方法，在必要的相容性条件下，我们得到了2维角点问题的整体适定性，为角点问题的研究提供了一个比较一般的能量方法。该方法也可适用于其他类似的方程，比如Navier-Stokes方程与热方程耦合的Benard对流问题等。