量子Landau方程适定性的若干问题研究

Two types of fundamental quantum particles with half-integer spin or integer spin are called fermions or bosons, characterized by different quantum effects thus different evolution equations,which are named Landau-Fermi- Dirac (LFD) equation and Landau-Bose-Einstein (LBE) equation, respectively. This project will focus on the studies of well-posedness of the two types of quantum Landau equations under both spatial homogeneous and spatial non-homogeneous settings，with special attention on the existence theory for the Cauchy problem with large initial data, and large time behavior of the solutions. This project will also consider the blow-up behavior of LBE equation in some cases and its application in explaining Bose-Einstein condensations.

两类基本的量子粒子费米子（自旋为半整数）和玻色子（自旋为整数）遵循截然不同的量子力学原理，其描述方程分别为Landau-Fermi-Dirac(LFD)方程和Landau-Bose-Einstein(LBE)方程。本项目将分别研究这两类量子Landau方程在空间齐性和空间非齐性框架下的适定性理论,尤其关心大初值Cauchy 问题解的存在性理论和大时间状态行为，以及LBE方程在某些情形可能出现的爆破及其在Bose-Einstein凝聚中的应用。

本项目研究的问题包括：.- Kac 模型；.- 空间齐次的 Landau 方程(软势)； .- 量子Landau方程的研究；.- 两种不同细胞相互作用的趋化性模型；.- 多体散射的一种 Foldy-Lax 逼近。.. 对Kac模型，我们利用相对熵方法,证明了 1 维 Kac 模型的平衡态的存在性, 解的存在性,以及解以指数速度收敛于平衡态,即玻色子的 Bose分布。并辅以了数值模拟。. 对Landau 方程，当-2<\gamma<0时，我们得到 L2 框架下的弱解的存在性。对于更弱势的 Landau 方程(-3<=\gamma<=- 2),我们研究了解的加权估计,以及其熵解的存在性。. 对带量子效应的Landau方程，我们研究了空间齐次时解的先验估计。我们主要讨论了方程的扩散项的正则性估计，然后利用这些估计获得解的先验估计. 对两种不同细胞相互作用的趋化性模型。我们研究其流体动力学极限。在极限方程组中,细胞的密度满足非线性,非局部的守恒律方程。该方程具有聚集效应,从而经典解在有限时间内爆破。我们用对偶解(duality solution)的理论建立了该模型的一类测度弱解(measure solution)。. 关于多体散射的一种 Foldy-Lax 逼近我，们把复杂系数的 Helmholtz 方程的 求解转化成了一组线性方程组的求解，并得到了误差的上界估计,极大的简化了求解过程。