基于面积泛函新的近似能量的极小曲面造型研究

Based on its abundant theoretical research results and good geometric properties, the minimal surface has become an important surface modeling method in computer aided geometric design (CAGD). Due to the high nonlinearity of the area functional in the construction of the minimal surface, Dirichlet energy is often used instead in the practical algorithms. However, the area functional and the Dirichlet energy can vary widely for a non-isothermal parametric surface theoretically, which makes the construction of the approximate minimal surface have a great limitation. For this problem, this project attempts to combine the isothermal parameterization in the form of functional with the Dirichlet energy linearly, construct a functional which is more accurate and easy to solve to approximate the area functional. Moreover, on the basis of this functional, construct the implicit minimal surface with different representations and the approximate minimal subdivision surface with given boundary conditions, and design new subdivision schemes satisfying certain geometric requirements with minimal area. These studies will enrich the research results on the minimal surface and promote its applications in the field of CAGD.

基于其丰富的理论研究成果及良好的几何性质，极小曲面已成为计算机辅助几何设计(CAGD)领域中一种重要的曲面造型方法。由于构造极小曲面所采用的面积泛函的高度非线性性，在实际算法中常采用Dirichlet能量来代替。然而，从理论上可知，对于非等温参数化的曲面，其面积泛函与Dirichlet能量可以相差很大，这对构造近似极小曲面具有很大的局限性。针对该问题，本项目尝试将等温参数化条件以泛函的形式与Dirichlet能量线性组合，构造面积泛函的一种更精确且易求解的近似能量。同时在该近似能量的基础之上构造不同表示形式下的隐式极小曲面和满足一定边界条件的近似极小细分曲面，设计满足一定几何要求并保证极限曲面面积最小的新的细分格式。本项目的这些研究都将丰富极小曲面造型的研究成果，促进极小曲面造型方法在CAGD领域中的应用。

基于其丰富的理论研究成果及良好的几何性质，极小曲面已成为计算机辅助几何设计(CAGD)领域中一种重要的曲面造型方法。针对参数曲面面积泛函的高度非线性性以及相关的边界约束造型问题，本项目按照研究计划，围绕曲线曲面造型的理论和应用开展研究工作，主要研究重点为：1、近似面积泛函的构造：深入研究了等温参数化条件的特性，构造出了弱等温参数化条件，并将其与常用的面积泛函近似能量如Dirichlet能量、拟调和泛函相结合，构造出了两类更为近似面积泛函且易求解的能量泛函。2、任意次数的参数多项式极小曲面的构造：注意到PH曲线所满足的Pythagorean条件与极小曲面的Weierstrass表示之间的密切关联，利用PH曲线，得到一种构造与PH曲线相同次数的参数多项式极小曲面的新方法。3、满足边界条件的Bézier曲面的构造：给定边界条件，基于不同的能量泛函，利用能量优化法构造满足边界约束的Bézier曲面。4、PH曲线保弧长约束的拼接问题：利用PH曲线的弧长公式、连续拼接条件以及复表示形式，研究解决了PH曲线的保弧长连续拼接问题。在项目执行过程中，项目组成员各司其职，取得了一系列的研究成果。在国内外学术刊物上发表7篇论文，包括6篇SCI论文，参加多次学术会议。培养3名硕士研究生。