吸引型Gross-Pitaevskii能量泛函的限制极小化问题的研究

Bose-Einstein condensation is one of the most rapid developments of quantum physics in the last 20 years, and its application is extremely wide, such as laser, superconductivity, etc. The theory of Gross-Pitaevskii as a successful theory to describe Bose-Einstein condensation has attracted the attention of some mathematicians. This project will study the minimization problem of the attractive Gross-Pitaevskii functional with restricted conditions in two-dimension and three-dimension. Two-dimensional problem is a $L^2$-critical problem, based on the results of the existence and mass-concentration, we will further study the existence of multiple peaks concentration solutions. Three-dimensional problem is a super $L^2$-critical problem, the Gross-Pitaevskii energy functional has no lower bound under the normalized condition, and with the normalized condition we will add some suitable conditions to control the lower bound, and consider the corresponding constrained minimization problem.

玻色-爱因斯坦凝聚是量子物理量近20年发展最迅猛的一个领域，有极其广泛的应用，例如激光、超导等。Gross-Pitaevskii理论作为描述玻色-爱因斯坦凝聚比较成功的一个理论，引起了数学家们的广泛关注。本项目将研究二维和三维的吸引型Gross-Pitaevskii能量泛函的限制极小化问题。二维问题是一个$L^2$-临界问题，我们将在已有的极小元存在性和质量集中性的结果上进一步研究多个波峰集中解的存在性。三维问题是一个$L^2$-超临界问题，此时Gross-Pitaevskii能量泛函在归一化条件下没有下界，我们将在归一化条件的前提下附加合理限制保证能量泛函有下界，然后考虑相应的限制极小化问题。

本项目主要研究与吸引型玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）凝聚有关的限制极小化问题。 玻色爱因斯坦凝聚是量子物理量近20年发展最迅猛的一个领域，有极其广泛的应用，例如激光、超导等。在平均场近似的情形下玻色-爱因斯坦凝聚可以用非线性薛定谔(Nonlinear Schrodinger)方程研究, 当非线性作用是立方非线性作用时，该方程也称为Gross-Pitaevskii(GP)方程，对应的能量泛函也叫Gross-Pitaevskii泛函。二维的吸引型GP能量泛函的限制极小化问题是一个L^2-临界问题，而三维的限制极小化问题是一个L^2-超临界问题。本项目我们主要关心相应的基态解的存在性、关于非线性参数的渐近行为、基态解的惟一性以及稳定性问题。具体的：. i)研究了带自旋为1的三分量的玻色-爱因斯坦凝聚在调和型外势下的限制极小化问题，得到了基态解的存在性与不存在性结果，分析了基态解关于参数的渐近行为，也得到了一些基态解的惟一性结果，成果发表在国际知名杂志 Calc.Var.PDE 和Adv. Nonl. Stud.上，见如下的成果[1]和[4]。这个问题完全来源于物理模型，此结果推广了二分量模型的结果，考虑了总磁量的影响，比起二分量的模型困难许多，其中关于参数的渐近行为的刻画与物理中的单模逼近有关。 . ii) 我们考虑了三维的两种模型的非线性薛定谔方程,从Nehari流形限制和Nehari-Pohozev流形限制两种出发，研究了相应的基态解的变分性质，及其强不稳定性，研究成果发表在国家知名杂志J. Dynam. Diff. Equations上见如下的成果[2]和[3]。特别的，关于[3]中的Nehari-Pohozev流形限制的结果是比较新的结果，此结果不仅适用L^2-质量临界问题，也适用L^2-超质量临界问题，相信对其它类似的模型也能适用，这篇文章目前的引用率比较高。. iii) 此外，在成果论文[5]中我们主要研究了带L^2-质量临界指标的非线性Hartree型方程的限制极小化问题,在成果[6-8]中我们研究玻色星系统有关的限制极小化问题，我们之前做的关于玻色-爱因斯坦凝聚的限制极小化问题的质量集中性的结果在这几篇文章中也得到了。