几类非线性发展方程解的若干问题的研究

In this project, we will study the properties and dynamic behaviors of solutions for nonlinear evolution equations arising from modern mechanics and physics. On the one hand, we will study local well-posedness，precise blow-up scenario and blow-up phenomena, global existence of strong solutions, existence and uniqueness of global weak solutions, global existence of conservative solutions.and dissipative solutions to the Cauchy problem of several classes of generalized Camassa-Holm equations；on the other, we will deal with expansion rate of interface, complete and incomplete blow-up, extinction, Fujita critical exponent, secondary critical exponent, life span, uniform boundedness and asymptotic behavior in large time on solutions of initial value and initial boundary value problem to nonlinear parabolic equations, They are some new topisc, and also some meaningful topics in mathematical theory and applied physics. The topics we will study are very challenging. Furthermore, the topics are the current focus in this field. We will study the topics by employing some new methods and new ideas of nonlinear dispersive wave equations, combining with semigroup theory, harmonic analysis, theory for dfferential equations in Banach spaces and the bifurcation theory. We expect the research will provide mathematical tools and theoretical bases for the corresponding applied subjects. Innovations in the mathematical theory are also expected through these studies. We hope that it is going to push both nonlinear evolution equations and our academic level to a higher one.

本项目将研究来源于现代力学和物理学的非线性发展方程解的性质和动力学行为。一方面研究几类推广的Camassa-Holm方程Cauchy问题的局部适定性，强解的爆破，强解的整体存在性，整体弱解的存在性唯一性，守恒解和耗散解的整体存在性等问题；另一方面研究几类非线性抛物方程（组）初值和初边值问题解的交界面的扩张速率、完全与非完全爆破、熄灭、Fujita 型临界指数、第二临界指数、生命跨度、一致有界性、大时间渐近行为等问题。这些都是崭新的研究课题，也是在数学理论和物理学应用两面都有重要研究价值的课题，既具有相当的难度，又是该领域的热点研究问题。我们将研究应用发展方程的一些新思想，新方法，结合半群理论，调和分析，Banach空间上的微分方程理论及其分叉理论等来研究该课题。通过对这些具体问题的研究，使我们在研究所需要的数学理论和方法上有所创新和突破，提升发展方程的研究层次，提高我们的研究水平。

本项目基本上是按原计划进行研,我们研究来源于现代力学和物理学的非线性发展方程解的性质和动力学行为。一方面研究了几类推广的Camassa-Holm方程Cauchy问题的局部适定性，强解的爆破，强解的整体存在性，整体弱解的存在性唯一性，守恒解和耗散解的整体存在性等问题；另一方面研究了几类非线性抛物方程（组）初值和初边值问题解的交界面的扩张速率、完全与非完全爆破、熄灭、Fujita型临界指数、第二临界指数、生命跨度、一致有界性、大时间渐近行为等问题。我们应用了发展方程的一些新思想，新方法，结合半群理论，调和分析，Banach空间上的微分方程理论及其分叉理论等来研究该课题。我们取得了一系列成果。通过对这些具体问题的研究，我们在研究所需要的数学理论和方法上有所创新和突破，提升了发展方程的研究层次，提高了我们的研究水平。