基于共形不变与泛函极值的积分方程的若干问题

生物学、物理学、流体动力学以及材料化学等领域所提出的很多积分微分方程问题都是现在数学中的热门课题。本项目研究与某些最大泛函的最佳常数估计以及共形几何有关的一类积分系统的若干问题，包括这类积分方程以及方程组在不同空间解的存在性与唯一性，方程的等价性，解的结构与正则性以及渐近性等问题。这些问题与调和分析中奇异积分算子、共形几何中的共形不变算子、随机过程中的Lery过程、实分析中某些不等式的最佳常数以及偏微分方程中的极值原理等领域的研究密切相关，通过对这些问题的深入研究所得到的理论、方法和技巧，将丰富和完善积分方程理论，同时对上述相关领域的研究必将起到推动作用。

本项目研究与某些最大泛函的最佳常数估计以及共形几何有关的一类积分系统的若干问题，包括这类积分方程以及方程组在不同空间解的存在性与唯一性，方程的等价性，解的结构，正则性以及渐进性等问题。我们主要发现了一个“突变现象” ， 即当参数对 (p,q) 属于集合(-n,0)×(0,∞) 且 pq+p+2n=0 时，对应摄动积分方程（10）在函数空间$C^{\infty}(R^n)\times L^{n(q-1)/(n+p)}(R^n)$ 中存在一个唯一的正解；而当参数对 (p,q) 属于集合 (0, ∞)×(-∞, 0)也满足共形不变指标 pq+p+2n=0时，摄动积分方程（10）不存在Lebesgue可测的非负解。这与原共形不变方程有着本质的不同。并且也找到当参数对 (p,q) 满足 (1-n,0)×(0,∞) 时，方程(10)在分布意义下，收敛于共形不变方程(9). 这个项目与调和分析中奇异积分算子、共形几何中的共形不变算子、随机过程中的Lery过程、实分析中某些不等式的最佳常数以及偏微分方程中的极值原理等领域的研究密切相关，通过对这些问题的深入研究所得到的理论、方法和技巧，将丰富和完善积分方程理论，同时对上述相关领域的研究必将起到推动作用，因此本研究项目具有重要的理论价值和广泛的应用背景