图上的偏微分方程理论及其在图像处理中的应用

Graph is the important tool to analyze the relation between the discrete object in many fields, such as computer science, biology, economics, sociology etc. In this project, we mainly consider the following three problems for partial differential equations on graphs: (1)The existence and uniqueness on the solutions of partial differential equations on graphs, and also its asymptotic behavior, including the properties of extinction, positivity and blowup and so on; (2) Using the properties of partial differential equations on graphs, we will discuss the structures of the graphs; (3) Combining the nonsingular p-Laplacian on graphs, we propose more efficient model for image segmentation.

图(Graph)是计算机科学、生物学、经济学、社会学等领域用来分析离散对象关系的重要工具。在项目致力于图上的偏微分方程如下三个方面的研究：（1）图上的偏微分方程解的存在、唯一性及其解的渐近行为，主要包括：熄灭、正性和爆破等性质；（2）利用图上的偏微分解的性质，讨论图的结构；（3）结合图上的p-Laplacain方程的非奇异性，建立更加有效的图像分割模型。

随着科学技术的不断发展, 图上的偏微分方程被广泛的应用在很多的领域例如能量的转化、电网络以及图像处理等, 本项目主要致力于图上的偏微分方程解的渐近行为的研究, 在如下五个方面取得了进展：.(1)运用单调迭代法和比较原理研究了具有指数型非线性项的离散的泊松方程和具有指数型的非线性项的离散的热方程解的存在性之间的关系，给出了带有指数型非线性项的离散泊松方程解存在时, 带有指数型非线性项的离散的热方程解的渐近稳定性;.(2)通过比较原理，讨论了具有指数反应项的离散的热方程解的爆破和全局存在性; .(3)讨论了具有对数型吸收项离散热方程解的淬灭行为, 淬灭时间和淬灭速率, 此外, 利用隐函数存在定理讨论了解的全局存在性;.(4)讨论了具有可变指数反应项的离散热方程解的爆破行为以及爆破时间;.(5)讨论了具有奇异吸收项的离散热方程解的淬灭行为, 淬灭时间和淬灭速率, 此外, 利用隐函数存在定理讨论了解的全局存在性.