参数曲线曲面的几何性质研究

The study on geometric properties of parametric curves and surfaces are not only important for the improvement of the theory of computational geometry and computer aided geometric design (CAGD), but also very important for applications of curve and surface modeling in related fields of computer and engineering. This research project aims study on the geometric properties of parametric curves and surfaces, based on the theory from algebraic geometry, combinatorics, computational geometry, and CAGD. This project involves research in the following topics: the degree elevation algorithm, de Casteljau algorithm and convexity preserving of toric surface patches; the conditions for geometric continuity of toric surface patches and reconstruction of piecewise toric surface patches; the limits of NURBS curves and surfaces while all of the weights tend to infinity; the injectivity conditions of NURBS surfaces, rational Bezier and NURBS solids; the number of regular control surfaces of rational Bezier curves and surfaces, toric surface patches, and NURBS curves and surfaces. We believe the results of this project will not only enrich and improve the development of theory of computational geometry and CAGD, but also extend the applications of curve and surface modeling in related fields.

参数曲线曲面的几何性质研究不仅对计算几何与计算机辅助几何的理论发展有重要意义，而且对曲线曲面造型技术在计算机与工程科学中的应用有重要的指导意义。基于计算几何、计算机辅助几何设计、代数几何与组合学的相关知识，本项目拟开展对一些尚未明确的参数曲线曲面几何性质进行研究，主要研究内容包括：toric曲面的升阶性质、de Casteljau算法与保凸性，toric曲面的几何连续性与分片连续toric曲面重构，所有权因子趋于无穷时NURBS曲线曲面的极限曲线曲面，NURBS曲面、有理Bezier与NURBS实体的单值性条件，有理Bezier曲线曲面、toric曲面与NURBS曲线曲面的正则控制曲面个数估计等。通过本项目的研究，促进计算几何与计算机辅助几何设计理论研究的发展，丰富曲线曲面的几何性质与算法，拓展曲线曲面造型技术在相关学科中的应用。

本项目对项目对参数曲线曲面的几何性质及其应用进行研究，主要包括参数曲线曲面的基本几何性质、权因子的极限性质、单值性判断理论与算法、基于几何性质的的曲线曲面造型研究等内容。通过本项目研究，我们取得了如下成果：给出基于层次定义下toric曲面/体的de Casteljau算法与升阶公式，并将升阶应用于等几何分析中；给出了toric 曲面间G2拼接的充要条件；给出一类新的GT-Bernstein基函数及其定义的GT-Bézier曲线曲面与基本几何性质；给出了toric曲面与NURBS曲线的正则控制曲面个数计算方法；给出NURBS曲线曲面toric退化时其极限曲线曲面的几何结构；给出有理Bézier曲面当所有权因子以指数形式趋于无穷时其极限曲面的几何结构；给出二维toric曲面单值性判断的改进算法并应于与等几何分析，并给出三维toric体对任意正的权因子都满足单值性的几何与代数判断方法；本项目还对三调和曲面设计、可展曲面的G1拼接、插值给定边界为其渐近线的曲面设计等问题进行研究给出相应的结果。本项目共计发表与录用论文35篇，其中SCI检索论文27篇。本项目将代数几何、计算几何、计算机辅助几何设计、组合学等学科方向相结合来研究参数曲线曲面的几何性质，并应用于等几何分析等学科方向，所得结论不仅是对计算几何与计算机辅助几何设计理论上的补充，而且也对几何造型的应用研究有一定的指导作用。