随机半定和半无限规划的渐近性质、统计推断及在传感器网络中的应用

Asymptotic properties for stochastic programming is a basic problem in this field and the basis of its statistical inference. Applying them to the localization problem in the sensor network composed of microphone array and the optimal design of beamforming is an important application direction.. The study of the asymptotic properties for stochastic programming is mainly focused on the finite constraint conditions and the special semi-definite programming model and the law of large numbers, asymptotic distribution and exponential convergence of these models. This project combines large deviation theory with stochastic semi-definite programming and stochastic semi-infinite programming. We propose and study the first and second order asymptotic expansions with exponential convergence rates, moderate deviations, functional asymptotic properties and statistical inference for the optimal value and optimal solutions of these models. In applications, we propose to localize the microphones as well as the sound source at the same time. We intend to build a mixed (stochastic) SDP-SOCP relaxation model for localizing the sensors and the source, and then we give efficient algorithm and make statistical inference.. This project combines the theory and applications of stochastic semi-definite programming and stochastic semi-infinite programming. It develops the theory of moderate deviations, functional asymptotic properties and statistical inference for stochastic semi-definite programming and stochastic semi-infinite programming. Also semi-definite and semi-infinite programming methods in sensor networks composed of microphone arrays are developed. Making the two promote each other.

随机规划的渐近性质是该领域中一个基本问题，也是其统计推断的基础。将其用于麦克风阵列组成的传感器网络的定位和波束形成器设计的研究是很有意义的研究方向。. 随机规划渐近性质的研究目前主要集中在有限约束条件和个别半定规划模型以及这些模型的大数律、渐近分布和指数收敛性。本项目将大偏差理论和随机半定及半无限规划相结合，提出并研究这些模型的最优值和最优解的具有指数收敛速度的一、二阶渐近展开、中偏差、泛函渐近性质以及统计推断。在应用方面，提出将麦克风的位置以及声源同时定位，拟用（随机）半定二阶锥规划的联合模型建立传感器网络中节点与声源同时定位的模型，并给出有效快速算法和进行统计推断。. 本项目将随机半定和半无限规划的理论和应用相结合，发展随机半定和半无限规划的中偏差、泛函渐近分析和统计推断理论，发展麦克风阵列组成的传感器网络中的半定和半无限规划模型和方法，使两者相互促进。

本项目针对于随机半定与半无限规划问题，以最优化理论和概率统计为基础，从随机规划问题的模型建立与分析入手，将大偏差理论和随机半定及半无限规划问题相结合，重点研究了以下几个方面的内容：（1）随机半定规划和随机半无限规划的渐近性质。（2）在麦克风阵列组成的传感器网络中的应用：传感器网络的建模与分析。（3）M张量方程的求解问题。（4）统计推断问题。.本项目获得了以下主要结果：（1）研究了具有协方差扰动的半定规划问题，得到一些关于最优解以及最优值估计的中偏差，Cramér型中偏差，以及重对数律的结果。（2）研究一般随机规划最优值和最优解的估计量的泛函中偏差原理和不变性原理。我们推广了大偏差中的delta方法，且利用delta方法建立最优值估计的中偏差原理。当目标函数是二阶连续可微而且原优化问题的最优解满足唯一性的时候，我们给出最优值估计的二阶中偏差估计，并且获得最优解估计量的中偏差原理。作为中偏差的一个应用，我们建立了最优值估计的强不变性原理和最优解估计的重对数律。作为二阶中偏差的一个应用，我们得到了最优值估计的Cramér型中偏差。（3）我们结合大偏差理论研究关于传感器网络中传感器数量估计的渐近性质。获得传感器数量估计--Good-Turing估计的渐近正态性、偏差不等式、中偏差和Cramér型中偏差。建立了半定规划和二阶锥规划的联合松弛模型来解决对已知声源位置的无线阵列结构进行识别并估计各阵列位置的反问题。（4）对于M张量方程的求解问题，我们提出了一种求解带正常数项方程的牛顿法，并建立了它的全局和二次收敛性。（5）将最优解以及最优值估计的收敛速度估计应用于其参数估计的区间估计以及假设检验，极小迹因子分析。将传感器数量估计--Good-Turing估计的精确收敛性应用于传感器网络的性能分析。.本项目的完成，丰富和发展了随机规划问题的理论和方法，并且给工程科学中的应用提供了理论支持。.