测度值分枝过程与相关带跳随机偏微分方程

Measure-valued branching processes describe nonlinear phenomena in nature such as evolution of population, branching particle systems and so on. One of the most important tools in the study of measure-valued branching processes is that of stochastic partial differential equations (SPDEs). There always exists jump phenomena in the random disturbance in the real world. Hence the study of SPDEs with jumps is of great realistic significance and urgent needs of the society. Whereas this study has also injected new vitality into the research of measure-valued branching processes. Our proposal is divided into two parts: the theory part and the application part. In the former part, based on the previous research work we will further study and improve the properties (e.g. pathwise uniqueness) of solutions of SPDEs, which are with jumps, non-Lipschitz coefficients and related to superprocesses (a class of measure-valued process). Then new theories and new methods of superprocesses and SPDEs with jumps will be explored and developed. We will also establish SPDEs with jumps which are related to general measure-valued branching processes. The theories of measure-valued branching processes will be enriched and become more perfect by systematic and in-depth study of these SPDEs with jumps. In the latter part, we shall make use of the total mass of a special immigration superprocess as the new financial model and show one of its applications in finance.

测度值分枝过程可以反映人口的演化规律、分枝粒子系统等自然界中的一些非线性现象，而随机偏微分方程(SPDE)是研究测度分枝过程最重要的工具之一。现实的随机扰动中经常出现带跳现象，这使得研究带跳 SPDE 具有重大的现实意义和迫切的社会需求。而带跳 SPDE 的研究也为测度值分枝过程的研究注入了新的活力。本项目的研究主要分为理论和应用两部分。在理论方面，我们将在现有研究基础上，进一步研究和完善与超过程(一种特殊的测度值分枝过程)相关的带跳且非 Lipschitz 系数 SPDE 解的性质(如唯一性等)，探索与发展超过程和带跳 SPDE 的新理论和新方法；建立一些与一般测度值分枝过程相关的带跳 SPDE，通过对这些带跳 SPDE 进行较为系统和深入的研究，丰富和完善测度值分枝过程理论。在应用方面，我们将采用一种特殊的移民超过程的总质量作为新的金融模型，并给出其在金融中的应用。

测度值分枝过程反映人口的演化规律、分枝粒子系统等自然界中的现象，其重要的研究工具是随机偏微分方程(SPDE)。现实中经常会出现带跳随机扰动，这使得研究带跳SPDE具有重要的现实意义和迫切的社会需求。而带跳SPDE的研究也为测度值分枝过程的研究注入了新的活力。. 三年来，围绕着Konno-Shiga-Reimers方程和Mytnik方程、带交互的超过程和随机环境中的分枝过程与相关的SPDE、测度值分枝过程在金融领域的应用这三条主线，我们取得了一系列研究成果，主要发表学术论文11篇，其中9篇SCI论文。. 本项目证明了Mytink方程在一定条件下解的轨道唯一性，部分地解决了遗留16之久的问题；研究了一个分布函数值的SPDE，建立了此方程的比较定理和轨道唯一性定理，从而证明了以下两类测度值分枝过程鞅问题的存在性和唯一性：带交互的超布朗运动（一类测度值分枝过程）和带交互的Fleming-Viot过程；证明了一类Lipschitz系数的有色噪声驱动的SPDE解的存在性和强唯一性；研究了带移民和带交互的超过程与相关的带跳SPDE，证明了此类超过程鞅问题的存在性和弱唯一性。由于通过带跳的倒向重随机微分方程可研究带跳SPDE，该项目证明了一类带跳倒向重随机微分方程解的存在性和轨道唯一性，给出了此方程的一些基本概念和Yamada-Watanabe定理以及一定条件下的比较定理；建立了CIR模型（也是连续状态的分枝过程）的参数估计，这为其更好地应用到金融、统计、生物等领域奠定了理论基础；研究了一个Lévy过程指数泛函的期望的渐进行为，从而给出了一个随机环境中的连续状态分枝过程的灭绝概率的精确估计；研究了分枝过程在随机树中的应用。. 在学术交流方面，我们积极参加国内外学术会议、积极到澳门大学、加拿大康考迪亚大学访问交流，本项目组成员1人博士后出站、1人博士毕业、2人硕士毕业。