随机生存性质及其在比较定理等方面的应用

随机生存性质，即随机系统的状态受限于一个事先给定的闭集。该理论在随机最优控制和对策、数理金融、偏微分方程等领域都取得了广泛的应用。对于正向系统的生存，我们拟运用流形上偏微分方程的粘性解比较定理，将受控的正向生存问题推广到黎曼流形的场合；而倒向系统，我们仍考虑欧氏空间中的生存，但加入Poisson跳的驱动。我们拟利用受限域的凸性，得到解过程Y 生存的充分必要判定；利用类似于Malliavin分析的手法，得到解过程(Z,U)的生存条件。利用生存性质的结果，我们有望得到流形上正向随机微分方程的"比较定理"以及带跳的倒向随机微分方程解Y的比较定理的充分必要条件，并且能考虑带跳金融产品中代表投资组合部分的(Z,U) 的有界性质。我们希望，通过该项目的研究，能得到一系列国际前沿、国内领先的应用基础理论成果，并为正向、倒向随机微分方程在金融中的研究及应用提供有力的工具。

本项目围绕随机生存性质及其应用这类问题展开研究，较全面地完成了预定的研究内容，并取得相应的研究结果。分别在《中国科学》、《数学学报》和《Systems & Control Letters》等发表高水平学术论文。本项目主要取得如下成果：（1）利用正向带跳过程生存性质的判定，得到正向多维带跳随机微分方程解的比较定理的充分必要结果，推广了Hu 和 Peng的经典结果；（2）通过倒向带跳生存性质的研究，得到多维带跳倒向随机微分方程解的比较定理的充分必要条件；（3）为了把生存性质推广到黎曼流形的场合，我们研究了与流形相关的一类随机递归最优控制问题的动态规划原理，并证明值函数是流形上推广的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。