图像处理中的Toeplitz矩阵压缩恢复理论与快速算法

In image processing, signal data analysis, the field of artificial intelligence and optimization, matrix completion, recovery and compressive recovery are research focus in recent years and have important theoretical and application values. This project aims to study the theories and fast algorithms of compressive recovery for Toeplitz matrices, it is also an exploratory for the compression recovery of certainty matrices in image processing. The project intends to do studies of the following aspects: by exploiting the degrees of freedom and its special forms of expression of Toeplitz matrices with rank r, to study the basic conditions of Toeplitz matrices compressive recovery. That is how structure and numbers of corrupt (or missing) data can guarantee accurate recovery of a low rank Toeplitz matrix and a sparse matrix; making use of the special form of Toeplitz matrices and the relationship with Fourier matrices, to study optimization models and fast algorithms for solving the Toeplitz matrices compressive recovery; apply these new algorithms to the image processing. Moreover, we compare our algorithms with the previous algorithms in both accuracy and computational efficiency. The project aims to explore the compressive recovery of the deterministic matrices with special structure, it will also be rich to the compressive recovery theories and algorithms of matrices.

在图像处理、信号数据分析、人工智能和优化领域, 矩阵填充、恢复及压缩恢复是最近几年的研究热点, 具有重要的理论和应用价值. 本项目主要研究Toeplitz矩阵的压缩恢复理论和快速算法, 是图像处理问题中针对确定型矩阵压缩恢复的一个探索. 拟做以下几个方面的研究：利用秩为r的Toeplitz矩阵的自由度及其特殊表达形式, 研究Toeplitz矩阵压缩恢复的基本条件, 即探索缺失元素的结构和数量以保证精确恢复一个低秩Toeplitz矩阵和一个稀疏矩阵; 利用Toeplitz矩阵的特殊结构以及它与Fourier 矩阵的关系, 研究Toeplitz矩阵压缩恢复的优化模型及快速算法; 将设计的新算法直接应用于图像重构, 并与相关的算法在精确性和计算效率两方面做实验对比. 本项目旨在对图像处理问题中具有特殊结构的确定型矩阵压缩恢复进行探索, 也将丰富图像处理问题中矩阵压缩恢复的理论和算法.

本项目完成了以下研究任务：.1. 对Toeplitz矩阵填充的研究较为深入，成果较丰富. （1） 对于极小化核范数模型，运用子空间的寻优技术提出一种保结构的Toeplitz填充方法，给出了核范数极小化模型最优解的充要条件，证明了算法的收敛性. （2） 对于极小化秩模型，运用了子空间寻优和F-范数、 l_1-范数意义下的Toeplitz矩阵的近似替代，得出两种保结构的Toeplitz填充方法. （3） 利用F-范数、 l_1-范数意义下Toeplitz矩阵的近似替代迭代矩阵来修正奇异值阈值算法和不精确增广Lagrange乘子算法，设计了两种Toeplitz填充的极小化保结构算法，并证明了算法的收敛性. 将算法应用于图像重建, 与传统算法相比，CPU 时间少，计算复杂度低，误差小..2. 对Toeplitz矩阵恢复主要是针对松弛的凸模型展开研究. 一方面给出了最优解的充分必要条件，另一方面利用Toeplitz矩阵的近似替代迭代矩阵设计了四种恢复算法，并讨论了算法收敛性和计算复杂度. 在应用于图像恢复实验中，算法效果明显，尤其是当稀疏矩阵的稀疏度较差（比较稠密）时，新算法的CPU时间减少280多倍..3. 对Toeplitz矩阵压缩恢复进行了较深入地研究，获得了以下成果：（1）通过压缩恢复模型的等价转换，给出等价模型的最优性条件，证明了不精确增广Lagrange乘子算法的收敛性，并进行了数值实验. （2）对Toeplitz矩阵压缩恢复，利用均值的Toeplitz矩阵替换迭代矩阵一次、二次修正了传统的不精确增广Lagrange乘子方法， 并证明了保结构方法的收敛性. 通过数值例子与现有的方法进行了实验结果的比较，展示了新算法的有效性.. 综上所述，项目组较系统、深入地研究了Toeplitz矩阵的填充、恢复及压缩恢复的理论和算法，取得了较丰富成果，共发表论文30篇，其中SCI收录13篇. 通过ResearchGate查询，论文被引用16次. 培养硕士研究生12名. 本项目的研究进一步丰富了结构化矩阵填充、恢复和重建的理论和方法，实现了预定的目标.