压缩传感中CS矩阵的构造理论与信号重构的快速算法

In recent years, a novel sampling method delegated by Compressed Sensing has emerged in signal processing region.This method was based on the sparse property of some classes of signals and broke the restriction that was introduced by Shanon and Nyquist,so that undersampling was enabled and as a result, it saves a lot of time and sensor resources. However, with the reflect caused by undersampling, the signal reconstruction procedure is more complex than traditional methods, which created a big gap between the premium sampling method and pratical application.To deal with this reality, our project plans to begin with the structure of CS-matrix, brings some restrict conditions for CS-matrices that will be verified easily, and constructs some CS-matrices for some classical signals such as digital image and sound,and by combining the properties of these matrices with that of of such signals as a whole, designs some fast algorithms for the construction of these signals. In addition, to deal with Compressed Sensing for high dimensional signals, our project tends to introduce a concept names "CS-tensor"，defines some classes of signals that could be sampled by CS-tensor and gets a deeper research for signal construction of multi-dimensional signals' Compressed Sensing.

近年来，在信号处理领域中出现了以压缩传感为代表的新兴采样方式，这种方式以信号的稀疏性为基础，突破了香农-奈奎斯特采样定理的限制，使欠采样成为了可能，大大地节约了采样时间和传感器资源。然而,受欠采样自身性质的影响，压缩传感中信号恢复的过程与传统采样方法相比更为复杂，导致这一优越的采样方法距实际应用尚有一定的距离。基于这一现状，本项目拟从压缩传感中感知矩阵（CS矩阵）的构造出发，从理论上给出易于验证的CS矩阵限制条件，进而为图像、声音等几类典型的信号构造出易于重构的CS矩阵，并将这些矩阵与这些信号自身的性质相结合，设计出信号重构的快速算法。此外，对于多维信号的压缩传感，本项目拟引入"CS张量"，给出一些可用CS张量采样的信号类，进而研究压缩传感中多维信号的重构算法。

以压缩传感为代表的新兴采样方式以信号的稀疏性为基础，突破了香农-奈奎斯特采样定理的限制，使欠采样成为了可能，大大地节约了采样时间和传感器资源。本项目主要针对压缩传感中的感知矩阵（CS矩阵）的构造理论以及信号重构算法展开了系统的研究，并对高维信号压缩传感的理论及算法进行了一定的研究，同时通过大量数值实验来验证信号重构算法的有效性及计算效率。本项目取得的主要研究结论和成果如下: (1)研究了基于线性测量的稀疏信号的重构问题以及重构解的个数问题。本项目组采用组合分析的方法，给出了该稀疏信号恢复问题解的个数的一个上界。特别地，如果测量矩阵的某些性质已知时，该上界还可以被改进。此外，通过组合构造的方法，我们还证明了该上界是可以达到的且是最佳的。(2)研究了正交匹配追踪算法精确恢复稀疏信号问题。项目组分别在无噪声和有噪声的情况下给出了保证正交匹配追踪算法精确恢复稀疏信号问题的充分性条件，并给出了这些条件的计算复杂度。(3)由于压缩传感中信号恢复问题的凸松弛模型在很多情况下都可以被交替方向乘子法类型的算法很好的解决，项目组研究了交替方向乘子法的理论及非精确计算，取得了一系列的结果。(4)项目还组研究了压缩感知中“CS张量”以及二维稀疏信号恢复的理论及其数值算法。提出了MMV-ADM算法并分析其收敛性，并给出了MMV-OMP算法精确恢复k行稀疏信号的充分条件。(5)对图像处理中的去噪去模糊问题以及低秩与稀疏矩阵恢复(LRSR)问题进行了大量数值试验，这些实验的结果一方面验证了项目组在理论和算法方面的研究结果，也为进一步的研究工作起到了一定的指导作用。(6)研究了二次特征值反问题、散乱数据拟合的无网格方法及期权定价中隐含波动率的正则化方法。