函数空间上的算子与算子代数及其不变量

函数空间上的算子与算子代数作为现代数学的重要组成部分与许多数学分支有着重要联系。迄今为止，无论是一般意义下的算子结构还是算子代数的分类问题都远没有解决，函数空间上特殊算子及其生成的代数不仅为一般算子与算子代数的研究提供了丰富的例子，更重要的是，这些算子与算子代数的结构与区域几何、函数论有着密切关系，通过这些算子与算子代数的研究对于寻找算子代数与拓扑、几何及函数论之间的内在关系具有重要意义，特别是区域的拓扑不变量与算子代数的分析不变量之间关系的研究是与现代核心数学有关的重要课题。

本项目围绕函数空间上两类特殊算子（Toeplitz算子、复合算子）及其生成的算子代数进行研究。研究了这些算子的有界性、紧性及其结构，在Fock空间、Dirichlet空间上构造了一类特殊符号的算子，这类算子的符号处处无界，但对应算子却是迹类算子。这个结果大大改进了已有的结果，过去人们只知道存在无界符号的紧Toeplitz算子，我们通过构造一个特殊的“圆型”区域，通过这类区域构造了一类处处无界的函数，其对应的Toeplitz算子是迹类算子。此外还研究了高维Hardy空间上Toeplitz算子的换位问题，这是涉及算子结构的重要问题。我们证明，解析符号的Toeplitz算子换位中的Toeplitz算子一定是解析的，同时给出了两个具有特殊符号的解析Toeplitz算子具有相同换位的充要条件。. 在完成本项目预期任务的基础上，我们还开展了Hardy-Sobolev空间上算子的研究，这是一类与调和分析、PDE有着密切关系的重要函数空间，几乎涵盖了所有经典的解析函数空间，而且由于空间结构与分数阶导数有关，所以研究的手段与经典空间有本质不同。我们得到了这些空间的初步结论，包括对偶空间、空间的包含关系等，还研究了这些空间上具有特殊符号的乘子性质。