梯度流问题高精度数值模拟与理论分析

本项目的主要目标是构造梯度流问题的高精度间断有限元方法及其有效的时间离散方法。梯度流是耗散演变过程的范式，诸多发展方程可以被描述成梯度流问题。梯度流方程依赖于对应Hilbert空间中的泛函和内积的选取,不同的泛函或内积将会产生不同的动力学系统。通常梯度流方程包含高阶非线性导数项，具有某种能量耗散性，有时也有某种能量守恒性。本项目将针对多种不同的梯度流问题的性质，设计相应的高精度间断有限元格式，保持其不同能量的耗散性和守恒性；构造新的限制器，保持某些梯度流问题中正性或有界性；同时，由于高阶非线性导数项的存在，导致一般数值格式时间步长过小的问题，本项目将同时构造有效的时间离散方法，放宽时间步长的限制。梯度流方法被用于许多不同的应用领域，本项目对梯度流方程的高精度数值模拟将会对应用数学及交叉应用学科的发展都将会有促进作用，具有重要的理论和现实意义。

根据项目申请书和任务书，本项目主要针对数学物理和实际应用问题中的梯度流问题设计高精度数值格式并进行理论分析。梯度流问题主要是通过建立系统的能量，并对该能量进行变分，得到相应的微分方程，从而对系统建立模型。本项目对一系列梯度流问题构造了高精度数值格式，如间断有限元方法、谱方法以及谱延迟校正方法等。这些数值方法在达到高精度的同时，满足离散系统的能量稳定性。项目中的具体的应用问题包括Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) 系统、含间断解的Degasperis–Procesi (DP) 方程、多个守恒量的Schrödinger-KdV方程、以及无梯度选择的薄膜生长问题。数值试验表明这些数值格式能够处理带有高阶导数、具有稳定系统能量的梯度流问题的能力，并且时间空间均具有高阶精度。相关成果发表在 Journal of Scientific Computing、Journal of Computational Physics、Communication in Computational Physics等杂志。对于这些具体问题研究，为进一步研究梯度流问题提供了研究方法和理论基础。