结构特征问题的参数化分析与高精度数值方法

High-accuracy numerical methods provide key computational tools for significant and strategic researches such as hypersonic vehicles. Based on the high-accuracy requirements of scientific practices, the project will work hard to explore high-accuracy numerical methods of structured eigenvalue problems. We first develop effective methods to extract the modeling parameters posed by structure properties of eigenvalue problems, and we then establish the mapping theory between the parameters and eigenvalue problems, from which structured perturbation analysis is presented to reveal the sensitivity of eigenvalue problems on parameters by providing the evaluation mechanism for perturbing performances. Finally, we design numerical algorithms to accurately compute eigenvalue problems as warranted by parameters after investigating the theoretic mechanism of error accumulations to extract decisive components and thresholds affecting the accuracy such that some bottlenecks of this field will be settled by combining with mixed-precision, modularization and preconditioning strategies. Consequently, we achieve high-accuracy and high-performance computations for structured eigenvalue problems by virtue of utilizing excellent hardware and software for computers. Our main aim of this project is to service the significant and strategic researches such as hypersonic vehicles by providing the urgent-needed computational theory and methods.

高精度数值计算方法为诸如高超音速飞行器等国家战略性科学研究提供关键的计算支撑。基于科学实践驱动的高精确性计算需求，本项目致力于探讨结构特征问题的高精度数值计算，研究特征参数的提取方法与关联建模，构建关联参数索引特征属性的映射理论；由此研究特征问题在关联参数扰动下的演化机制与计算方法，获取可靠的评估理论对扰动行为与演化质量进行有效预测与计算；进而研究以关联参数为载体的算法设计，挖掘关联参数所蕴含的高精度计算模式，明晰误差动态演化的机理与可控方法，析取影响计算精确性的决定性阀值，发展基于多精度、模块化、预处理等多方式的综合计算方法，突破高精度计算的瓶颈问题，高效利用计算硬件与软件的卓越性能实现特征问题的高精度计算，为诸如高超音速飞行器等重要战略性研究提供急需的计算理论与方法。

结构特征问题广泛地存在诸如电子结构计算、计算机辅助几何设计、微分方程数值求解等学科领域，发展有效地、稳定地、精确地数值计算结构特征问题的理论与方法将推动这些学科的发展，但正如美国两院院士Demmel等指出高精度计算领域中存在众多的瓶颈难题。本项目致力于结构特征问题的参数化分析与高精度计算研究，研究了异构属性所内嵌的特征结构，开展了特征结构的参数一致性语义描述和统一表达，获取了特征问题的本征参数及其映射理论；并立足于结参数本征表示，研究了结构参数对特征属性和结构属性的影响规律，发展了参数扰动下特征属性的扰动分析理论与方法，揭示特征问题在参数扰动下的演化机理，理论验证了由结构参数高精计算特征问题的可行性；在可行性的理论保障下，研究了结构参数所蕴含的高精度计算模式，发展了以结构参数为载体的特征算法设计理论与方法，形成了评估计算精确性的误差分析机制，突破了高精度计算的瓶颈，实现了广义奇异值问题、广义特征值问题、非对称特征值问题、奇异值问题、结构最小二乘问题、乘积线性系统求解以及乘积特征问题等众多特征问题的高精度计算，解决了目前该研究领域存在的一些问题，获得了一些有价值的研究成果，发展了高精度数值计算的理论与方法。