具有非凸策略集的Stackelberg均衡问题的理论和算法研究

The study on nonconvex and nonsmooth complex optimization problems by using differential manifold theory and method is one of the important research directions of optimization theory in recent years. This project intends to study Stackelberg equilibrium problems with nonconvex strategy sets, convex smooth pay functions and nonconvex nonsmooth pay functions. The appropriate metrics would be selected to embed the nonconvex original problem into a differential manifold, convert it into the equivalent bilevel programming problem of geodesic convexity, the variational inequality and equilibrium problem. Using the projection metric, the fixed point theorem and the KKM theorem on the differential manifold, the characterization results of the original problem solution set under different conditions are obtained. A numerical algorithm for variational inequalities and equilibrium problems on differential manifolds is developed, and an iterative algorithm with global convergence is constructed to calculate the numerical solution of the original problem. This research is not only expected to improve, develop and enrich the methods and techniques of Stackelberg equilibrium theory, variational inequalities and equilibrium problems on differential manifolds, but also expand greatly the applicable range of optimization theory on differential manifolds. It provides new ideas for the theoretical and algorithmic research of bilevel programming problems, and has important significance for the development of disciplines, society and economy.

利用微分流形的理论和方法，研究非凸非光滑的复杂优化问题，是近年来优化理论的重要研究方向之一。本项目拟研究具有非凸策略集和凸光滑支付函数与非凸非光滑支付函数的Stackelberg均衡问题，选取合适的度量把非凸的原问题嵌入到微分流形中，将原问题转化为等价的具有测地凸性的双层规划问题和变分不等式及均衡问题，利用微分流形上的投影度量、不动点定理与KKM定理等工具，获得不同条件下原问题解集的刻画性结果。发展微分流形上关于变分不等式及均衡问题的数值算法，构造出具有全局收敛性的迭代算法用于计算原问题的数值解。本项目的研究不仅有望完善、发展和丰富Stackelberg均衡理论、微分流形上的变分不等式和均衡问题的方法和技巧，还能扩展微分流形上最优化理论的应用范围，为双层规划问题的理论和算法研究提供新思路，对学科和社会经济的发展都有重要意义。

近年来，Stackelberg 均衡不仅广泛应用于经济金融、生产管理、产品定价、交通物流及利益分配等传统问题,还在供应链管理、打击恐怖主义等新兴领域中发挥作用。随着上世纪 70 年代 Stackelberg 均衡逐渐发挥重要作用，其背后的核心数学问题，即双层规划问题受到了众多研究者的重视。但是，来源于实际问题的 Stackelberg 均衡问题的策略集不一定具有凸性，并且与 Stackelberg 均衡等价的双层规划的约束集的嵌套本性会使规划问题的可行域不具有凸性。因此，本项目的主要研究内容是将具有非凸策略集的Stackelberg均衡问题嵌入到微分流形中，将原问题转化为等价的具有测地凸性的双层规划问题和变分不等式及均衡问题，在流形上利用度量投影和不动点定理研究解的性质；解决了流形上具有测地凸性的Stackelberg均衡问题解的存在性问题；构造流形上Stackelberg均衡问题的邻近点算法，研究收敛性。. 项目基本上按照计划执行，取得的成果包括在黎曼流形上建立了与具有非凸策略集的Stackelberg均衡问题等价的变分不等式问题和广义优化问题，以及这类问题在不同条件下，解的存在性和等价性条件。在此过程中，我们解决了两个关键问题：首先是研究了流形上局部测地凸集的切锥的概念和性质，建立了像空间分析的方法和拟支撑超平面的相关概念，一定程度上解决了解的存在性问题。其次是提出了流形拟超平面的概念，进一步的将线性空间的经典概念、性质推广到了不具备线性结构的微分流形中。利用这个概念和广义投影算子的代数刻画，证明了流形上的测地凸集的分离定理和支撑拟超平面的存在性。作为应用，推导出了测地凸约束条件下的均衡问题和流形优化问题的解的必要性条件，为构造这类问题的算法提供了理论基础。这些成果拓宽了流形优化广义测地凸分析领域的研究方向，阐明了研究测地凸集、测地凸函数等广义凸性的重要意义。