H-型群上完全拉普拉斯算子的分析

The H-type groups are generalizations of the Heisenberg group and they have been widely used in the theory of harmonic analysis. The full Laplacian on H-type groups is the generalization of the Laplacian on the Euclidean space. It plays a critical role in many research fields such as several complex variables, CR geometry, Fourier analysis and partial differential equations..This project will study harmonic problems related to the full Laplacian on H-type groups. Due to the nonhomogeneous nature of the full Laplacian, by making full use of the stationary phase method, the TT* duality method, spectral decomposition, oscillatory integrals of several variables and linearization of maximal functions, this project will focus on the three problems related to the full Laplacian on H-type groups: the first one is the boundedness of Bochner-Riesz means; the second one is the initial value problem for the time dependent Schrödinger equation; the last one is the boundedness of the maximal heat operator. .The study of the project will enrich the theories of the left-invariant differential operators on H-type groups, and provide theoretical basis for the applications of the class of differential operators on partial differential equations.

H-型群是Heisenberg群的自然推广，在分析和几何两个方面都有重要的应用。H-型群上的完全Laplace算子相当于经典欧氏空间上Laplace算子的推广，在多复变量、CR几何、Fourier分析和偏微分方程等数学领域都有重要的应用价值。.本项目围绕H-型群上的完全Laplace算子的调和分析问题展开研究，通过充分运用静相分析方法、TT*对偶思想、谱分解原理、高维振荡积分估计和极大算子线性化等方法，克服完全Laplace算子缺乏次Laplace算子具有的齐次伸缩性所带来的困难，重点研究H-型群上与完全Laplace算子相关的三类问题：1、Bochner-Riesz平均的有界性；2、自由Schrödinger方程的解逐点收敛到初始值的正则性指标；3、热极大函数的有界性。.这些研究结果将丰富和完善H-型群上的左不变微分算子理论，从而为这类微分算子在偏微分方程中的应用提供理论依据。

H-型群是Heisenberg群的自然推广，在几何和分析两个方面都有重要的意义，H-型群上的次Laplace算子和完全Laplace算子相当于经典欧氏空间上Laplace算子的推广，因此研究这两类特殊的做不变微分算子具有重要的理论意义。(1)Strichartz估计是研究非线性色散方程解得局部、整体适定性的一种工具，是研究非线性微分方程的核心课题。我们研究了H-型群上与完全Laplace算子相关的薛定谔方程的Cauchy初始值问题，首先建立自由薛定谔方程解关于时间t的最优衰退估计，再利用TT*对偶原理和插值理论最终得到相应方程解得Strichartz估计。(2)自由Schrödinger方程的解逐点收敛到初始值的Carleson问题是分析学中一直关注和研究的经典问题之一，其在调和分析，偏微分方程、统计力学等方面有着广泛的应用。首先我们研究二维欧式空间上自由Schrödinger方程的Carleson问题，并建立了方程的解逐点收敛到初始值的正则性指标和收敛到0的时间序列之间的关系；进一步，我们研究了沿一类特定曲线的自由Schrödinger方程，证明了沿非切向方向的Schrödinger极大算子有界性；此外，对于欧式空间上一类非椭圆型算子，我们建立了方程的解逐点收敛到初始值的正则性指标和收敛到0的时间序列之间的关系。(3)Hardy不等式和不确定原理在偏微分方程、概率论、量子力学和几何测度论等多个领域均有重要的应用，利用调和分析的思想方法和精细技巧深入研究各种类型Hardy不等式可以得到新的研究结果。Grushin算子和广义次Laplace算子是与二阶幂零李群紧密相关的一类亚椭圆算子，在调和分析、偏微分方程等领域都有重要的应用。运用谱分解原理，引入分数阶Grushin算子，研究与之相关的分数阶广义次Laplace算子，建立分数阶广义次Laplace算子的积分表示和基态表示，得到该算子的两个版本Hardy不等式和不确定性原理，最终通过Hecke-Bochner公式，推导出分数阶Grushin算子的两个版本的Hardy不等式和不确定性原理。这些问题均属于现代调和分析的核心内容。