微分动力系统的符号与数值混合计算

Computer - aided mathematical modeling,analysis and simulation of dynamical systems are playing a major role in today's engineering practice. Symbolic computation is gradually introduced to deal with some hard problems in solving differential dynamical systems by numerical computation originally. Symbolic computation can provide accurate characteristics of dynamical system,but it necessitates great deal of computer resource and is of high computational complexity. Additionally,most dynamical systems are built in empirical data and the solutions of the system should be evaluated with error. So any one method,symbolic computation or numeirical computation, is limited in solving dynamical systems. In practice, to deal with dynamical system it is required not only symbolic computation but also numerical computation. Up to now, some symbolic computations and many numerical computations have been developed for investigating the behavior of differential dynamical systems. But they are used separately. A kind of hybrid computation of symbolic computation combined with numerical computation may be an effictive method.In the research item, we study the behavior of differential dynamical systems,design algorithms of symbolic computation combined with numeirical computation， and create the methodologies with the suppting theories. The basic idea is to design symbolic computation algorithms to reduce original system and to design optimal scheme of numerical computation.

在解决工程实际问题中，动力系统的计算机辅助数学建模、分析及仿真越来越发挥着重要作用。原以数值计算为中心的微分动力系统求解与分析正在引入符号计算处理一些棘手的问题。尽管符号计算成功实现时能够给出动力系统精确刻划，但毕竟大多数的动力系统得以建立的数据并非全是理想的精确数，所以精确解还是需要考察与实际状况贴近的精度。此外，偏高的计算复杂度及大量内存资源诉求也使得单一的符号计算或数值计算方法解决动力系统问题受到阻碍。目前，处理动力系统问题有许多成熟的数值计算方法，也有针对某个问题的符号计算方法。但是，实际问题的解决往往是既需要符号计算又需要数值计算，两种计算的有机结合必将是研究动力系统的有效途径。本项目就是要针对微分动力系统建立符号与数值混合计算方法。为了提高数值计算效率，用符号计算整顿系统模型，约简系统规模；通过符号计算分析建立优化数值计算格式；自动推导标准形及建立自适应数值与符号计算算法。

微分动力系统是描述系统整体演化规律和局部形态的数学模型之一，它研究系统的周期性/稳定性/突变性/分歧,直至瞬息万变的湍流，与力学/物理/工程/生物乃至经济都有重要的联系。对微分动力系统的研究主要是经典的理论分析和借助于计算机的数值计算, 符号计算方法的介入还处于初级阶段。本项目就是推进符号计算方法对微分动力系统的分析，并开拓微分动力系统的符号与数值混合计算研究方法。我们建立了基于扰动理论的系统稳定性分析的符号计算方法，并对于多项式型微分动力系统推导出一个稳定性判别公式；对于带有受迫项或参数依赖的微分动力系统我们给出了分析稳定性和渐进稳定性的符号计算算法，并基于此算法，提出了通过添加受迫项构造稳定系统的方法，这在系统工程上有实际应用价值。对于多项式型的微分动力系统中心和焦点，我们给出了更为一般的判定算法；对于辛算法，通过加进符号计算推导，将隐式格式转化为（或大部分转化为）显示格式，从而极大提高了算法效率。我们还在与动力系统稳定性判定相关的问题：多项式方程组实根的存在性判定/有限域上多项式方程组解的个数等问题上，取得了较好的研究结果。