拟线性波动-Klein-Gordon系统在2+1维时空中的全局稳定性

In this research we plan to make a systematic investigation on the global well-posedness of quasi-linear wave-Klein-Gordon system in 2+1 space-time dimensions. More precisely, we are interested in the global existence of classical solution associated to small initial data.The methodology that we supposed to apply belongs to the class of vector field method of Klainerman, and the normal form method introduced by Shatah and developed by Delort, Fang and Xue. The goal to be achieved is to give a complete classification on all quadratic nonlinear terms. We want to clarify which terms will not change the asymptotic behavior of the solution, which will conserve the global existence and which will cause blow-up in finite time.

本项目拟在2+1维时空中对拟线性波动-Klein-Gordon的小初值全局适定性进行系统研究。主要目标是解决带二次非线性项的波动-Klein-Gordon系统的小初值古典解的全局存在性。拟采用的方法属于Klainerman的向量场方法，并结合Shatah提出的、并由Delort、Fang与Xue进一步发展的normal form方法。拟达成的研究目标是对所有二次非线性项进行分类，搞清楚哪些项不会破坏系统解在无穷远的渐进性态，哪些虽然会改变渐进性态但是仍然保持全局适定性，而哪些项又会造成有限时间内解的爆破。

自双曲面分页框架在被应用于研究波动-Klein-Gordon系统以来，数学界的兴趣首先集中在3+1维时空的情况。本项目将该框架应用于2+1维时空，以2+1维时空中拟线性波动-Klein-Gordon系统的全局非线性稳定性问题的研究为抓手，一方面在双曲面分页框架中建立平行于经典等时面分页框架下的分析工具，另一方面运用这些工具去理解二维波动与Klein-Gordon方程的精细性质，尤其是二者的相互作用。.目前，本项目产出论文l两篇（已发表），专著一部（正在撰写，已获得出版意向）。我们通过对全局稳定性的研究，建立的一系列分析工具：波动方程在双曲面上的Morawetz估计和conformal能量估计，波动方程基于沿双曲线积分的精细衰减性估计，Klein-Gordon方程在双曲面上的Normal-form能量估计和衰减性估计等等。我们对拟线性波动-Klein-Gordon系统非线性项的对解的全局渐进形态的影响有了初步认识，清楚阐述了“强耦合”和“弱耦合”的区别。.通过本项目的研究，我们对2+1维时空中的波动方程解的性态有了更加深刻的认识。对一般拟线性系统中的非线性项进行了初步分类，并搞清楚了两大类全局解（按照渐进性态区分）之间的本质区别和存在范围。