图张开及其在代数图中的应用

Graph blow-up is the technique which constructs a relatively complex graph from a given graph. The aim of this project is to study the graph properties of graph blow-up and its applications in some graphs which are defined in algebras. There are two famous kind of such graphs, namely zero-divisor graphs of commutative rings and commutative semigroups. The properties of these graphs are studied and then the results of the algebraic structure and the classifications of algebra are obtained. This method which starts in algebra, then combinatorical properties are studied, and in the end, come back to algebra is an important means of algebra. By studying the knowledge related, we want to get some results, such as the classification of rings which have planar co-maximal ideal graphs, and enhance our ability.

图张开是一种由简单图构造复杂图的技巧，其本质是利用完全二部图来获得新的图。本项目主要研究的是对于简单图的图张开的性质以及图张开在代数图中的应用。代数图是在各种代数结构上定义的图，例如交换环和交换半群上的零因子图、零化理想图，群和环上的换位图（Commuting graph）等。引入代数图的目的是通过研究代数图的图性质，从而得到代数的结构或者是分类问题。这种先代数，再组合，最后回到代数的研究方法是近年来代数研究的重要方法和手段。通过本课题的研究，得到一些高水平的研究成果，例如对平面co-maximal ideal图对应的交换环进行分类，提高研究水平，丰富代数的研究内容。

本项目研究了图张开在代数图（主要是co-maximal ideal图）中的应用。图张开具有保持图某些参数不变的性质。事实上，在大多数情况下，图张开保持图直径、围长、团数和染色数不变。图张开这种技巧的好处在于，即使将有限图张开成为一个无限图以后，这些参数依然不变。另外，除了离散图之外，图张开能保持图的连通性。研究表明，绝大多数co-maximal ideal图和co-maximal图都可以由Boole图张开获得，所以通过Boole图的有关性质和图张开保持图参数不变性，较为容易地获得了co-maximal ideal图和co-maximal图的有关性质。这些性质虽然可以由代数的方法直接得到，但是通过图张开这种图论技巧，部分证明得到了一定程度的简化；更重要的意义是给出了图张开这种纯粹图论与组合工具在交换代数研究中一个很好的应用。另外就是根据图来研究代数结构问题。对于有无限个极大理想的环，根据直径为2和3的情况，分别给出相应的环结构的充要条件。最后，给出了co-maximal ideal图为平面图时对应环的结构问题（包括有限的平面图和无限的平面图）。