区域上无散度和无旋度小波及其在流体计算中的应用

This program mainly studies the construntion of divergence-free and curl-free wavelets on domains, together with its applications in numerical computation of Navier-Stokes equation.. Firstly, divergence-free and curl-free wavelets satisfying the boundary conditions on bounded domains are constructed by improving and optmizing the wavelet theories on the interval; furthermore, we study its stability and the characterization of Sobolev and Besov spaces.. Secondly, based on the divergence-free and curl-free wavelets on bounded domain,the fast algorithm of Helmholtz decompositions on wavelet domain and the convergence are studied, furthermore,the concrete numerical simulation for the vector velocity field of Navier-Stokes equation is given..Finally, taking Stokes problem as an example which corresponds to the viscous and incompressible fluid, we directly use the divergence-free wavelets on the domain to give its adaptive approximate solution, the approximation properties and the computational complexity.. The research improves and optimizes the wavelet theories on the interval, provides the new methods for constructing divergence-free and curl-free wavelets with good properties on bounded domains; At the same time, the numerical simulation of velocity fields by divergence-free and curl-free wavelets on domains makes the applications of wavelets more concrete.

本项目主要研究区域上无散度和无旋度小波的构造及其在流体力学中Navier-Stokes方程数值计算中的应用。. 首先，通过改进和优化区间上的小波理论，在有界区域上构造满足边界条件的无散度和无旋度小波，并研究其在相应无散度和无旋度空间中的稳定性以及对Sobolev空间和Besov空间的刻划；其次，基于区域上的无散度和无旋度小波，研究小波域上Helmholtz分解的快速迭代算法以及算法的收敛性，并进一步给出Navier-Stokes方程向量速度场的数值模拟；最后，以表示粘性不可压缩流体的Stokes问题为例，直接利用区域上满足边界条件的无散度小波求其无散度自适应逼近解，并研究解的逼近性质和计算复杂度。. 此课题研究改进和优化区间上的小波理论，给出区域上具有较好性质的无散度和无旋度小波构造的新方法；同时，利用区域上具体的无散度和无旋度小波对流体速度场进行数值模拟使得小波的应用具体化。

本项目主要通过改进和优化区间上的小波，构造单位方体上满足某种边界条件并具有简单结构的无散度和无旋度小波，研究所构造小波的稳定性以及对Sobolev空间和Besov空间的刻画，基于所构造的小波研究Helmholtz分解的快速算法以及Stokes问题的自适应小波解。. 首先，注意到全平面上的无散度和无旋度小波与双正交小波之间存在一个正交变换关系，改进单位区间上的小波基，并通过适当的二维和三维正交变换矩阵构造了矩形区域和单位方体上具有片边界条件的各向异性无旋度小波，并给出了Helmholtz分解的快速算法以及散度算子和旋度算子的小波表示；通过单位方体上无散度和无旋度空间的刻画构造了单位方体上具有切向（非片）边界和简单结构的各向异性无散度和无旋度尺度函数和小波函数以及它们的对偶，建立了无散度和无旋度空间中的多尺度分析以及空间分解；通过向量值空间的正交分解，构造了单位方体上满足切向边界的各向异性无旋度小波；鉴于Hardin-Marasovich小波函数的零边值性质和简单结构，利用Hardin-Marasovich小波函数的微分关系在单位方体上构造了一类具有切向边界的各向同性无散度多尺度函数和小波，给出切向边界无散度向量小波分解系数的快速算法。其次，研究了所构造的单位方体上的无散度和无旋度小波的Riesz稳定性以及对Sobolev空间和Besov空间的刻画。最后，研究了Stokes问题的自适应小波数值解，基于小波对函数空间的刻画，通过改进最佳N-项逼近误差给出了自适应小波算法的误差分析，数值结果表明了其有效性。. 本课题的研究改进和优化了区间上的小波构造，为单位方体上满足片边界和切向边界的无散度和无旋度小波构造提供了新的方法，所构造小波的稳定性以及对函数空间的刻画为单位方体上的无散度和无旋度小波在流体计算中的应用提供了理论保证，对Stokes问题自适应小波算法的误差分析同样适用于一般椭圆算子方程的自适应小波算法。