拟凸区域上的散度型椭圆方程的正则性

该项目旨在研究拟凸区域上的散度型椭圆方程的正则性问题，主要探讨散度型方程的正则性成立对区域的最低要求，以及正则性成立的函数空间可以做何种推广。本项目主要讨论以下两个问题：（1）对于拟凸区域，证明散度型椭圆方程的弱解的正则性；（2）在比Sobolev空间更广的Orlicz空间中， 得到方程正则性成立对Orlicz空间的最低要求。拟凸区域是对凸区域的一种推广，也是对已有的Reifenberg型区域的一种推广，可以具有分形性质。为得到此类区域上的解的估计，我们采用的主要证明技巧是Vitali覆盖引理，极大函数方法以及紧性方法，需要解决的关键问题是得到拟凸区域上成立的Vitali覆盖引理。利用类似的证明技巧，通过对Orlicz空间进行相应的限制，我们可以得到散度型方程在Orlicz空间中的正则性。该项目的研究目标是给出上述问题的严格证明，同时希望给出处理一般分形域上方程的正则性的一种证明思路。