非线性算子的动态跃迁理论

The Bifurcation theory of nonliear operators is an important branch of nonliear functional analysis, which conclud two fields of the static bifurcation and the transition theory. The importance of bifurcation theory lies in it can deal with a lot of critial phenomena and phase thansition problems in physics, such as the Rayleigh-Benard convection and the Taylor problem in fluid dynamics, the El Ninophenomenon and the theomohaline oceanic ciculation in the atmosphere and ocean. These phase trase transition problems are very important topics in nonlinear sciences. The applicant and professor Shouhong Wang have developed a set of dynamic transition theory and methods for the nonlinear dissipative systems, which can solve a lot of phase transition problems in physics and fliud dynamics. The main objective of this project is 1) to develope the second transition (bifurcation) theory for the nonliear dissipative operators, and 2) to investigate the relation of the muli-transitions with the Chios, 3) to develope the further applications in nonliear sciences.

非线性算子的分歧理论是非线性泛函分析的一个重要分支，它分为定态分歧和动态跃迁（包括动态分歧）两个领域。分歧理论的重要性在于它能有效地处理物理学中大量的临界相变问题，如流体力学中的Rayleigh-Benard对流问题，柱体转动流体的Taylor问题，大气海洋耦合的厄尔尼诺现象，海洋热盐环流等。这些物理相变问题在非线性科学中都是具有重要意义的课题。本课题申请者与美国印第安纳大学汪守宏教授具有二十多年的合作经历。在此期间，我们系统地发展了一套非线性耗散系统的动态跃迁理论。该理论基本特点就是它从自然物理临界相变现象中抽象而来，因而它能有效地应用到自然科学中广泛存在的突变问题。本项目的主要目标就是 1）进一步发展非线性算子二次跃迁（或分歧）理论，包括二次跃迁的临界点判定以及跃迁类型的理论分析等； 2）多次跃迁与混沌的联系； 3）进一步发展跃迁理论在自然界中的应用。

非线性算子的分歧理论是非线性泛函分析的一个重要分支，它分为定态分歧和动态跃迁两个重要领域。动态跃迁理论的基本特点就是它从自然物理临界相变现象中抽象而来，因而它能有效地应用到自然科学中广泛存在的突变问题。本项目的研究内容是动态跃迁理论以及应用，其主要有两个研究方面：1）进一步发展该理论；2）应用该理论研究自然科学中的非平衡相变问题。经过四年的研究，本项目团队取得了一些重要成果。数学理论方面的成果有：1）出版一部新的专著《从数学观点看物理世界—统计物理与临界相变理论》；2）建立了非线性算子的拓扑相变理论。该成果已经放在本人与汪守宏教授的专著《Phase Transition Dynamics》第二版中，于2019年出版。跃迁理论在自然界中的应用方面:1) 对太阳耀斑和表面喷发提出了一个数学模型，并给出物理机理的解释 ；2）对螺旋星系转动的旋臂结构问题给出严格数学解释；3）对高温超导现象建立了新的理论。本项目团队的数学成果为研究自然界的非平衡相变现象提供了新的理论工具，这些数学成果的应用对理解太阳耀斑形成和表面喷发现象、螺旋星系转动的旋臂结构问题以及对高温超导现象提供了理论指导。