罗巴代数的表示和罗巴代数在operad中的应用

A Rota-Baxter operator is introduced as an algebraic abstraction and a generalization of the integration operator. It is a very important branch of the algebraic view study of analysis problems. It is originated from G.Baxter's study of Spitzer identity. Rota-Baxter algebra has a wide range of applications in algebraic combinatorics、commutative algebras、Hopf algebras、algebraic operad、number theory、Yang-Baxter equations、quantum field theory (QFT) .. The representations of Rota-Baxter algebra and applications of Rota-Baxter algebra in operad are important research fields in Rota-Baxter algebras. In this research, the Rota-Baxter structures of some typical algebras and their Rota-Baxter modules will be studied. we also want to explore the relationship between Rota-Baxter associative algebras and Rota-Baxter Lie algebras and try to find its applications in the research of Yang-Baxter equations. Then we study the action of averaging operator which is Koszul dual to the action of Rota-Baxter operator. Finally, we try to establish some operadic identities about the arity-splitting.

罗巴(Rota-Baxter)算子是积分算子的代数抽象和推广，是分析问题代数化研究的一个重要组成部分。它的研究始于G.Baxter 对Spitzer等式的研究。 罗巴代数与代数组合、交换代数、 Hopf代数、代数operad理论、数论、Yang-Baxter方程、量子场论（QFT）等都有着很多非常重要的联系。其深入应用到数学以及理论物理中的很多分支。. 罗巴代数表示论以及罗巴代数在operad中的应用是罗巴代数研究的重要内容。本课题首先研究一些特殊代数的罗巴结构进一步考虑其上的模的性质和分类并详细研究罗巴结合代数与罗巴李代数之间的关系，进一步用于Yang-Baxter方程的研究。其次研究与罗巴算子作用对偶的平均算子作用以及与元分裂相关的operad等式。

罗巴代数理论是代数学的一个新兴分支.1960年,美国数学家G.Baxter在寻求Spitzer等式代数证明的过程中定义了罗巴算子.带有罗巴算子的代数称为罗巴代数.另一方面,在1960年至1972年间,P. Cartier, G.C. Rota及其合作者们着手去发展一套关于积分的代数和组合结构的一般性理论.事实上,罗巴算子可视为积分算子的抽象和推广. 20世纪80年代,李代数中的罗巴算子又作为经典Yang-Baxter方程解的算子形式被数学物理学家独立发现.本世纪以来,罗巴代数的发展突飞猛进,不仅它的基础理论得到系统发展, 而且在量子场论、可积系统、数论、Hopf 代数、operad以及代数组合等方面有着重要的应用.在近二十年里,郭锂是罗巴代数理论发展的主要贡献者,他撰写了罗巴代数领域的第一本教材. . 本项目主要研究了罗巴算子在operad构造中的应用以及罗巴代数的表示理论.在operad方面,我们定义了任意operad上的分裂和复制构造,一方面将原来的二分裂与三分裂统一起来;另一方面将很多看似无关的代数联系到一起并给出了构造的一般法则.此外, 我们定义了任意代数上的罗巴算子并证明它的作用能诱导出operad上的分裂;定义了两类平均算子并证明它们的作用能诱导出operad上的复制.在二元二次operad上证明了P 的复制的Koszul对偶同构于P的Koszul对偶的分裂.最后将operad的分裂与代数表示联系起来. 对于罗巴代数表示, 我们首先具体研究了罗巴多项式代数的不可约表示、直和分解以及不可分解多项式表示的罗巴模结构和等价分类; 其次, 从一般的罗巴代数出发将罗巴代数的表示转化为其对应的罗巴算子环的表示.进一步讨论了罗巴模范畴中的各类导出函子,给出若干罗巴表示与普通代数表示的不同之处.另外,还给出了自由Nijenhuis代数的Hopf结构.