自由罗巴代数与拟对称函数

A very close relationship exists between Rota-Baxter algebras and the algebra of quasi-symmetric functions, which are two important objects with profound theories and broad applications. In this research item, we plan to construct free Rota-Baxter algebras by generalizing quasi-symmetric functions to the quasi-symmetric functions with semigroup exponents. And then we investigate Rota-Baxter ideals by using this structure to classify the characteristic of Rota-Baxter rings and give a class of Rota-Baxter ideals satisfying ascending condition. In particular, we will study various bases for the algebra of the new symmetric and quasi-symmetric functions and their correspondence in Rota-Baxter algebras, and the relationships between these algebras and their dual will also be considered. Finally, we investigate the algebraic properties and product formulas for multiple zeta values with binomial coefficients which arises naturally in our study.

拟对称函数与罗巴代数是两个理论深刻、应用广泛的代数对象，二者关系密切。本项目首先将拟对称函数推广为半群幂拟对称函数，借以给出自由罗巴代数一种新的结构表示。然后在此基础上研究罗巴理想的结构，刻画罗巴环的特征， 给出一类满足升链条件的罗巴理想，并研究半群幂对称和拟对称函数代数各种基之间的关系及其在罗巴代数中的表现，给出罗巴代数、半群幂对称和拟对称函数代数及其对偶代数之间的关系。最后研究在上述过程中自然产生的带二项式系数的多重zeta值的代数性质与基本乘法公式。

数学家Rota曾猜测罗巴代数是对称函数代数终极的自然推广。本项目主要是利用半群幂拟对称函数构造自由交换罗巴代数，证实Rota的论断，并研究由此产生的一些代数与组合问题。首先，我们引进半群幂拟对称函数的概念，并证明了半群幂拟对称函数代数具有Hopf代数结构。作为特殊情形，把与有序分拆对应的拟对称函数推广为与弱有序分拆对应的弱拟对称函数，而后者与单变元的多项式环的张量积正是由单变元生成的权为1含幺元的自由交换罗巴代数，从而赋予罗巴代数一种Hopf代数结构，建立了拟对称函数与罗巴代数的密切关系。我们还证明了经典的拟对称函数是弱拟对称函数的商Hopf代数。第二，对单变元多项式环上的单项式罗巴算子进行了完全分类，并刻画了罗巴特征的结构。第三，研究了由左弱拟对称函数对应的一类带二项式系数的多重zeta函数值，并得到了乘积的分解公式。