球对称技术在非线性抛物方程和分数抛物方程中的应用

In this research, we will employ the spherically symmetric techniques to study nonlinear parabolic equations and fractional parabolic equations.. First of all, for a class of nonlinear parabolic equations with q growth in the gradient, by using a radial exponential function and the exponential variable substitution as the breakthrough point, the original parabolic equations can be converted to the equivalent equations which contain only zero order terms. Through the above method, we explore the integral comparison result of the solutions to nonlinear parabolic equations with all the lower order terms (q = p - 1) and study the existence of bounded solutions to the equations with gengral growth in the gradient（p-1<q≤p）. Hence, the integral comparison results of linear parabolic equations are generalized to nonlinear case.This will provide an effective research way for parabolic problems with both nonlinear first order terms and nonlinear zero order terms, which fill the gaps in this aspect. . Second, for fractional parabolic equations with double nonlinearity, through the transformation of double nonlinearity and the operator extensions theory, it is converted to the equivalent Cauchy-Dirichlet problem. Based on spherically symmetric techniques, we design a test function to prove the maximum principle and then get the integral comparison result between the original fractional parabolic equations and the symmetrized equations. Moreover, we analysis the accurate extinction time and rate of the solutions to this class of nonlinear parabolic equations. The scheme overcomes the limitations of the time discretization method and has more extensive applications.

本项目应用球对称技术就非线性抛物方程和分数抛物方程展开研究。首先，对关于梯度具有q增长的非线性抛物方程，以寻求径向指数函数乘因子和指数变量替换为突破口，将原抛物方程转化为只含零阶项的等价方程。通过上述方法探讨含所有低阶项（q=p-1）的非线性抛物方程解之间的积分比较；研究关于梯度具有一般增长（p-1<q≤p）的方程有界解的存在性。将线性抛物方程的积分比较结果推广到非线性；给出了解决同时含非线性零阶项和一阶项的抛物问题行之有效的思路，填补了此类方程研究成果的空白。其次，对双重非线性分数抛物方程，通过转化双重非线性并进行算子延拓，将其等价为Cauchy-Dirichlet问题，借助球对称技术设计试验函数以证明极值原理，进而获得与对称方程解之间的积分比较结果。并进一步分析此类非线性分数抛物方程解的精确灭亡时间和速率。该方案打破了利用时间离散化方法进行研究的局限性，具有更广泛的应用价值。

对称方法是偏微分方程研究中的经典方法，特别是了解拟线性方程解的性质的行之有效的方法。本项目应用球对称技术研究两类非线性抛物方程，一类带有梯度非线性项，一类带有分数阶微分算子。这两类抛物型方程具有广泛的应用背景，对其研究有着重要的理论意义。. 为了给抛物方程的研究提供理论与技术支持，本项目首先在相关的椭圆问题上取得了两个重要结果：（1）证明了含所有低阶项的椭圆变分不等式与其对称问题解之间的比较结果，并基于该结果研究了解的正则性；（2）证得了关于梯度具有一般增长的非线性椭圆方程的解与其对称方程的解之间存在逐点比较，并以此得到了有界弱解的存在性。在这些研究基础下，对于带有梯度非线性项的抛物方程，我们取得了如下的成果：（3）我们首次提出一类指数型乘因子，将含所有低阶项的抛物方程转化为只含有零阶项的等价方程来进行研究，通过等价方程与等价对称方程解之间的比较，证明了原抛物方程与对称抛物方程解之间的加权积分比较结果，这使我们能够对含所有低阶项的抛物方程解的正则性开展更深入的研究；（4）若抛物方程关于梯度具有一般增长条件，我们又构造了一类解的指数变换，同样能够将原方程转化为仅含零阶项的等价抛物方程，利用球对称技术获得等价方程与等价对称方程解之间的积分比较，进而证明了原抛物方程有界弱解的存在性。最后，对于双重非线性分数阶抛物方程，已设计转化双重非线性到同一非线性项上的技术方案，并借助Steiner对称选取了合适的试验函数用以证明其与对称方程解之间的积分比较结果，目前正在进行验证与论文撰写，后续的工作中将继续完善该方面的研究。